Question

如圖，在棱長都相等的四面體ABCD中，點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn)，

(1)設(shè)側(cè)面ABC與底面BCD所成角為α，求tanα．

(2)設(shè)CE與底面BCD所成角為β，求cosβ．

(3)在直線BC上是否存在著點(diǎn)F，使直線AF與CE所成角為90°，若存在，試確定F點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)連AF、DF，由△ABC及△BDC是正三角形，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，得AF⊥BC，DF⊥BC，AF＝DF 　　∴∠AFD為二面角A－BC－D的平面角 　　 　　∴面ADF⊥面BCD 　　在面ADF中，過E作EG⊥DF，則EG⊥面BCD，連CG，則∠ECG＝β 　　又AF＝DF，E為AD中點(diǎn)，故EF⊥AD 　　 　　法二：設(shè)AO⊥面BCD于O，則O為等邊三角形，BCD為中心，設(shè)BC中點(diǎn)為M，CD中點(diǎn)為N，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM所在直線為x軸，ON所在直線為y軸，OA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系0－xyz，設(shè)棱長為2a，則0(0，0，0)，A(0，0，a)