Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₃=1，S₄=-3，a_n+3=2a_n（n∈N^*），則S₂₀₁₇=-1．

Answer 1

分析 S₃=1，S₄=-3，a_n+3=2a_n（n∈N^*），可得a_n+3+a_n+4+a_n+5=2（a_n+a_n+1+a_n+2），前三項(xiàng)的和為1，第四至第六項(xiàng)的和為2，再下邊三項(xiàng)和為4，依次下去，這樣三項(xiàng)和構(gòu)成等比數(shù)列，…即可得出S₂₀₁₆．又a₄=2a₁，1+2a₁=-3，解得a₁=-2．可得a₂₀₁₇=a_672×3+1=2⁶⁷¹a₁=-2⁶⁷²．即可得出．

解答 解：∵S₃=1，S₄=-3，a_n+3=2a_n（n∈N^*），
∴a_n+3+a_n+4+a_n+5=2（a_n+a_n+1+a_n+2），
又a₄=2a₁，∴1+2a₁=-3，解得a₁=-2．
a₂₀₁₇=a_672×3+1=2⁶⁷¹a₁=-2⁶⁷²．
∴前三項(xiàng)的和為1，第四至第六項(xiàng)的和為2，再下邊三項(xiàng)和為4，依次下去，這樣三項(xiàng)和構(gòu)成等比數(shù)列，…
∴S₂₀₁₇=$\frac{{2}^{672}-1}{2-1}$-2⁶⁷²=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．