【題目】設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為D，且以點(diǎn)D為圓心的圓與雙曲線C分別相交于點(diǎn)A、B，如圖所示.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）求的最小值，并求出此時(shí)圓D的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)P為雙曲線C上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，且直線PA、PB分別與x軸相交于點(diǎn)M、N，求證：為定值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

【答案】（1）；（2），；（3）4.

【解析】

（1）由圓心為，為雙曲線的左頂點(diǎn)，解得，得到雙曲線C的方程.

（2）設(shè)，利用數(shù)量積運(yùn)算得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

（3）設(shè)，得到直線PA的方程為：，令，得，同理，然后代入求解.

（1）因?yàn)閳A的圓心為，且為左頂點(diǎn)，

所以，

所以雙曲線C的方程.

（2）設(shè)，

因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線上，

所以，

所以，

所以當(dāng)，取得最小值，

此時(shí)，又點(diǎn)A在圓上，所以，

所以圓D的方程.

（3）設(shè)，則直線PA的方程為：，

令，得，同理，

又點(diǎn)A，P在雙曲線上，

所以，

所以，

所以為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于兩點(diǎn).

（1）若與軸垂直，且，求的值；

（2）若，且的橫坐標(biāo)之和為，證明：.

（3）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】矩形中，，，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形沿所在的直線進(jìn)行隨意翻折，在翻折過程中直線與直線所成角的范圍(包含初始狀態(tài))為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從該設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

直徑/

78

79

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

93

合計(jì)

件數(shù)

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.

（1）為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的頻率）：

①；②；③，評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿足，則等級(jí)為丁.試判斷設(shè)備的性能等級(jí).

（2）將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認(rèn)定為是“次品”，將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認(rèn)定為是“突變品”，從樣本的“次品”中隨意抽取2件零件，求“突變品”個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在等比數(shù)列中，已知設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且

（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；

（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）是否存在等差數(shù)列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線與直線相切于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于軸對稱．

（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)是軸上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，直線、與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．如果相交，求出的交點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.

(1)求f(x)的最小值m；

(2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥3.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，動(dòng)圓與圓外切，且與直線相切，該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程

（2）過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)A的切線與交于點(diǎn)N，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù)在[1，2]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，其圖象關(guān)于點(diǎn)和直線x對稱，給出下列結(jié)論：

①；

②函數(shù)f（x）在[0，1]上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)；

③函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增；

④函數(shù)f（x）的最小正周期是2．

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）

A.②③B.①④C.②③④D.①②

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