（2012•保定一模）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，直線PD與底面ABCD所成的角等于30°，PF=FB，E∈BC，EF∥平面PAC．
（1）試求若
BEEC
的值；
（2）求二面角P-DE-A的余弦值；
（3）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值．
分析：（1）利用EF∥平面PAC，可得EF∥PC，根據(jù)PF=FB，可知BE=EC；
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出平面PDE的法向量、平面ADE的法向量，利用向量的夾角公式即可求得二面角P-DE-A的平面角；
（3）求出
PC
=(
3
，1，-1)，平面PDE的法向量為
n
=(
3
3
，
1
2
，1)，利用向量的夾角公式即可求得直線PC與平面PDE所成角的正弦值．
解答：解：（1）∵平面PBC∩平面PAC=PC，EF?平面PBC，EF∥平面PAC
∴EF∥PC
∵PF=FB，
∴BE=EC，即
BE
EC
=1
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=1
∴直線PD與底面ABCD所成的角為∠PDA=30°，
∴AD=
3

則P（0，0，1），B（0，1，0），C（
3
，1，0），E（
3
2
，1，0）
∴
DE
=( -
3
2
，1，0)，
PE
=(
3
2
，1，-1)
設(shè)平面PDE的法向量為
n
=(x，y，z)，∴
n
•
DE
=0，
n
•
PE
=0
∴
-
3
2
x+y=0
3
2
x+y+z=0
，∴取z=1，可得
n
=(
3
3
，
1
2
，1)
又平面ADE的法向量為
m
=(0，0，1)
設(shè)二面角P-DE-A的平面角為θ，則cosθ=
n
•
m
|
n
||
m
|
=
2
57
19

（3）∵C（
3
，1，0），∴
PC
=(
3
，1，-1)
設(shè)直線PC與平面PDE所成角為α
∵平面PDE的法向量為
n
=(
3
3
，
1
2
，1)
∴sinα=
n
•
PC
|
n
||
PC
|
=
285
95

∴直線PC與平面PDE所成角的正弦值為
285
95
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的性質(zhì)，考查面面角，線面角，利用空間向量，熟練掌握線面平行的性質(zhì)是關(guān)鍵．
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3
2
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3
2
或5
．

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