Question

已知等軸雙曲線C：x²-y²=a² （a＞0）上一定點(diǎn)P（x，y）及曲線C上兩動點(diǎn)AB滿足（-）•（-）=0，（其中O為原點(diǎn)）
（1）求證：（+）•（+）=0；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）用坐標(biāo)表示向量，利用點(diǎn)滿足雙曲線方程，可證數(shù)量積為0；
（2）先由弦長公式得|PA|=，|PB|=，再利用勾股定理求|AB|的長，從而使問題得解．
解答：解：（1）因P（x，y）在雙曲線C：x²-y²=a² 上，故x²-y²=a²．①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁²-y₁²=a²，②x₂²-y₂²=a²    ③
=（x₁-x，y₁-y），=（x₂-x，y₂-y），由于（-）•（-）=0，∴（x₁-x）（x₂-x）=-（y₁-y）（y₂-y） ④
且點(diǎn)A，B分別在雙曲線的兩支．
②-①得（x₁-x）（x₁+x）=（y₁-y）（y₁+y）                ⑤
同理（x₂-x）（x₂+x）=（y₂-y）（y₂+y）                           ⑥
⑤×⑥÷④得（x₁+x）（x₂+x）=-（y₁+y）（y₂+y）．
∴（+）•（+）=[（x+x₁）（x+x₂）+（y+y₁）（y+y₂）]=0．
（2）為簡單起見，記x=m，y=n，不妨設(shè)PA的方程為x=m+k（y-n），其中kmn≥0，⑦
代入x²-y²=a²，化簡得（k²-1）y²+（2km-2k²n）y-2kmn+（1+k²）n²=0，
解得y₁=n，y₂=⑧
由弦長公式得|PA|=，|PB|=，
設(shè)f（k）=|AB|²-4（m²+n²）=|PA|²+|PB|²-4（m²+n²）=≥0
當(dāng)k→∞時，f（k）→0，∴|AB|的最小值是，即2|OP|=2
點(diǎn)評：本題主要考查向量與解析幾何的結(jié)合，考查設(shè)而不求法的運(yùn)用，屬于難題．