Question

【題目】已知圓,直線

（1）求證：直線過定點(diǎn)；

（2）求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的值；

（3）已知點(diǎn)，在直線MC上（C為圓心），存在定點(diǎn)N（異于點(diǎn)M），滿足：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）直線過定點(diǎn)（2）

（3）在直線上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)

【解析】分析：（Ⅰ）利用直線系方程的特征，直接求解直線l過定點(diǎn)A的坐標(biāo)．

（Ⅱ）當(dāng)AC⊥l時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短，由題知，r=2，求出AC的斜率，利用點(diǎn)到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解即可．

（Ⅲ）由題知，直線MC的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)N滿足題意，

則設(shè)P（x，y），，得 ，且，求出λ，然后求解比值．

詳解：（Ⅰ）依題意得，

令且，得

直線過定點(diǎn)

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短，由題知，

，得， 由得

（Ⅲ）法一：由題知，直線的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，

則設(shè)， ，得 ，且

整理得，

上式對(duì)任意恒成立， 且

解得 ,說以（舍去，與重合），

綜上可知，在直線上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)