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9.已知直線x=π3是函數(shù)f(x)=msin2x-cos2x的圖象的一條對稱軸.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)△ABC中角,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若f(B)=2,且b=3,求ac2的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由x=π3是函數(shù)f(x)的一條對稱軸求出m的值,寫出f(x)的解析式,再求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)由f(B)=2求出B的值,再由正弦定理a、c的表達(dá)式,寫出a-c2的表達(dá)式,利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出它的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)x=π3是函數(shù)f(x)=msin2x-cos2x的一條對稱軸,
∴f(π3)=32m+12=m2+1
32m+12=-m2+1,
解得m=3;…..(3分)
∴f(x)=3sin2x-cos2x=2sin(2x-π6),
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z,
解得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,
∴f(x)的增區(qū)間是:[kππ6kπ+π3]kZ;…(6分)
(2)由f(B)=2,得sin(2B-π6)=1,解得B=π3;
b=3,由正弦定理得:
a=2sinAc=2sinC=2sinA+π3
∴a-c2=2sinA-sin(A+π3)=3sin(A-π6);…(8分)
又A∈(0,2π3),∴A-π6∈(-π6,π2),
∴sin(A-π6)∈(-12,1),
3sin(A-π6)∈(-32,3),
即a-c2∈(-32,3).…..(12分)

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與求值的應(yīng)用問題,也考查了正弦定理的應(yīng)用問題,是綜合題.

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