9.已知直線$x=\frac{π}{3}$是函數(shù)f(x)=msin2x-cos2x的圖象的一條對稱軸.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設△ABC中角,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若f(B)=2,且$b=\sqrt{3}$,求$a-\frac{c}{2}$的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由$x=\frac{π}{3}$是函數(shù)f(x)的一條對稱軸求出m的值,寫出f(x)的解析式,再求f(x)的單調增區(qū)間;
(2)由f(B)=2求出B的值,再由正弦定理a、c的表達式,寫出a-$\frac{c}{2}$的表達式,利用三角函數(shù)的性質求出它的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)$x=\frac{π}{3}$是函數(shù)f(x)=msin2x-cos2x的一條對稱軸,
∴f($\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{{m}^{2}+1}$
或$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+$\frac{1}{2}$=-$\sqrt{{m}^{2}+1}$,
解得m=$\sqrt{3}$;…..(3分)
∴f(x)=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin(2x-$\frac{π}{6}$),
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$,k∈Z,
∴f(x)的增區(qū)間是:$[{kπ-\frac{π}{6},kπ+\frac{π}{3}}](k∈Z)$;…(6分)
(2)由f(B)=2,得sin(2B-$\frac{π}{6}$)=1,解得B=$\frac{π}{3}$;
又$b=\sqrt{3}$,由正弦定理得:
$a=2sinA,c=2sinC=2sin(A+\frac{π}{3})$,
∴a-$\frac{c}{2}$=2sinA-sin(A+$\frac{π}{3}$)=$\sqrt{3}$sin(A-$\frac{π}{6}$);…(8分)
又A∈(0,$\frac{2π}{3}$),∴A-$\frac{π}{6}$∈(-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{2}$),
∴sin(A-$\frac{π}{6}$)∈(-$\frac{1}{2}$,1),
∴$\sqrt{3}$sin(A-$\frac{π}{6}$)∈(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sqrt{3}$),
即a-$\frac{c}{2}$∈(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sqrt{3}$).…..(12分)

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與求值的應用問題,也考查了正弦定理的應用問題,是綜合題.

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