Question

已知函數f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2．
（I）討論函數f（x）的單調性；
（II）設函數g(x)=

2

3

x3-x2，試比較f（x）與g（x）的大小．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用導數的正負，可得函數f（x）的單調性；
（II）設函數h（x）=f（x）-g（x），確定其正負，可得結論．

解答：解：（I）函數f（x）的定義域為R，f'（x）=（e^x-1-1）（x²+2x）=x（x+2）（e^x-1-1）
令f'（x）=0，可得e^x-1-1=0或x²+2x=0，即x₁=-2，x₂=0，x₃=1
列表如下：

x	（-∞，-2）	（-2，0）	（0，1）	（1，+∞）
f'（x）	-	+	-	+
f（x）	↓	↑	↓	↑

由上表可知函數f（x）在區(qū)間（-2，0）和（1，+∞）上是單調遞增函數；在區(qū)間（-∞，-2）和（0，1）上是單調遞減函數．…（6分）
（II）設函數h（x）=f（x）-g（x）=x²e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），
又設函數?（x）=e^x-1-x，x∈R，則?'（x）=e^x-1-1，
所以當x∈（-∞，1）時，?'（x）＜0，此時?（x）為減函數；
當x∈（1，+∞）時，?'（x）＞0，此時?（x）為增函數，
因而?（x）≥?（1）=0恒成立（等號僅當x=1處取得）
綜上，當x=0或1時，h（x）=0，即f（x）=g（x）；
當x≠0，且x≠1時，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查大小比較，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．