Question

已知函數f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的對稱軸方程和最小正周期；
（Ⅱ）求函數[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過二倍角的余弦函數以及兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，直接求函數f（x）的對稱軸方程和最小正周期；
（Ⅱ）通過函數自變量范圍求出函數值的范圍，即可求函數[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1-cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1 （3分）
則f（x）的對稱軸是x=

π

3

+

kπ

2

，k∈Z，最小正周期是T=

2π

2

=π．（5分）
（Ⅱ）x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

π

3

] （8分）
sin（2x-

π

6

）∈[-1，

3

2

]，
所以最大值為

3

2

-1，最小值為-2．（10分）

點評：本題考查三角函數的化簡求值，函數的周期的求法，三角函數最值的求法，考查計算能力．