Question

19．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是正方體六個(gè)面的中心，求證：平面EFG∥平面HMN．

Answer 1

分析 以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，得到$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{HM}$，$\overrightarrow{FG}$∥$\overrightarrow{NH}$，從而證出結(jié)論．

解答 證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，
如圖示：

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則E（1，1，0），F(xiàn)（1，0，1），G（2，1，1），
H（1，2，1），M（1，1，2），N（0，1，1）．
所以$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），
$\overrightarrow{FG}$=（1，1，0），
$\overrightarrow{HM}$=（0，-1，1），
$\overrightarrow{NH}$=（1，1，0），
所以$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{HM}$，$\overrightarrow{FG}$∥$\overrightarrow{NH}$
∴EF∥HM，F(xiàn)G∥NH．
因?yàn)镠M⊆平面HMN，NH⊆平面HMN，
所以EF∥平面HMN，F(xiàn)G∥平面HMN．
因?yàn)镋F⊆平面EFG，F(xiàn)G⊆平面EFG，
EF∩FG=F，
所以平面EFG∥平面HMN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面平行問題，考查向量的應(yīng)用，是一道中檔題．