已知對(duì)于圓x2+(y-1)2=1上任一點(diǎn)P(x，y)，不等式x+y+m≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

思路解析：x+y+m≥0恒成立，即（x+y）min≥-m.

解法一：利用二元一次不等式表示的平面區(qū)域求解.

對(duì)于(x，y)，若不等式x+y+m≥0恒成立，則點(diǎn)(x，y)應(yīng)在直線x+y+m=0上，或在直線x+y+m=0的右上方.

若求出x+y＝t的截距t，則x+y+m＝0的截距-m應(yīng)滿足-m≤t,即m≥-t.

由于x+y=t是圓的一條切線，由點(diǎn)到直線的距離公式，得1=.

∴t=1-，或t=1+(舍去，為什么).

∴m≥-t=-1為所求.

解法二:(利用圓的參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)P(cosθ，1+sinθ),將問題轉(zhuǎn)化成三角問題來解決)

設(shè)圓x2+(y-1)2＝1上任一點(diǎn)P(cosθ，1+sinθ)，θ∈［0，2π.

∴x=cosθ，y=1+sinθ.∵x+y+m≥0恒成立,

∴cosθ+1+sinθ+m≥0恒成立，即m≥-(1+sinθ+cosθ)恒成立.

∴只需m大于等于-(1+sinθ+cosθ)的最大值.

設(shè)u=-(sinθ+cosθ)-1=-sin(θ+)-1，

∴umax=-1，即m≥-1.

深化升華

    一般地，把圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)可設(shè)為(a+rcosθ，b+rsinθ)(θ∈［0，2π)).用這種設(shè)法一方面可減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，另一方面可靈活地運(yùn)用三角公式.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知對(duì)于圓x2+(y-1)2=1上任意一點(diǎn)P（x,y)，不等式x+y+m≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

 

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