【題目】已知函數(shù)(
且
).
(1)判斷的奇偶性并證明;
(2)若,是否存在
,使
在
的值域為
?若存在,求出此時
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)奇函數(shù);證明見解析;(2)存在,.
【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域,然后利用奇偶性的定義驗證函數(shù)
的奇偶性;
(2)由,可得出
,利用復合函數(shù)可分析出函數(shù)
在區(qū)間
上為減函數(shù),由題意得
,于是得出關(guān)于
的方程
在區(qū)間
上有兩解,即關(guān)于
的方程
在
上有兩個不等的實根,然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象列出關(guān)于
的不等式組,解出即可.
(1)函數(shù)是奇函數(shù);證明如下:
由解得
或
,所以,函數(shù)
的定義域為
,關(guān)于原點對稱.
,
因此,函數(shù)為奇函數(shù);
(2)由題意知,,且
,
.
令在
上為增函數(shù),
而函數(shù)為減函數(shù),所以,函數(shù)
在
上為減函數(shù),
假設(shè)存在,使得題意成立,則函數(shù)
在
上為減函數(shù),
則有,即
,
.
所以、
是方程
的兩正根,
整理得在
有
個不等根
和
,由韋達定理得
,則
.
令,則函數(shù)
在
有
個零點,
則,解得
.
因此,實數(shù)的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),曲線
在點
處的切線方程為
.
(1)求的解析式;
(2)證明:曲線上任一點處的切線與直線
和直線
所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當m=1時,若方程在區(qū)間
上有唯一的實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點和圓
,過
的動直線
與圓
交于
、
兩點,過
作直線
,交
于
點.
(Ⅰ)求動點的軌跡
的方程;
(Ⅱ)若不經(jīng)過的直線
與軌跡
交于
兩點,且
.求證:直線
恒過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標方程為
,傾斜角為
的直線
過點
.
(1)求曲線的直角坐標方程和直線
的參數(shù)方程;
(2)設(shè),
是過點
且關(guān)于直線
對稱的兩條直線,
與
交于
兩點,
與
交于
,
兩點. 求證:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在極坐標系中,曲線的極坐標方程是
,點
是曲線
上的動點.點
滿足
(
為極點).設(shè)點
的軌跡為曲線
.以極點
為原點,極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標系
,已知直線
的參數(shù)方程是
,(
為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標方程與直線
的普通方程;
(2)設(shè)直線交兩坐標軸于
,
兩點,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)是兩個非零平面向量,則有:
①若,則
②若,則
③若,則存在實數(shù)
,使得
④若存在實數(shù),使得
,則
或
四個命題中真命題的序號為 __________.(填寫所有真命題的序號)
【答案】①③④
【解析】逐一考查所給的結(jié)論:
①若,則
,據(jù)此有:
,說法①正確;
②若,取
,則
,
而,說法②錯誤;
③若,則
,據(jù)此有:
,
由平面向量數(shù)量積的定義有:,
則向量反向,故存在實數(shù)
,使得
,說法③正確;
④若存在實數(shù),使得
,則向量
與向量
共線,
此時,
,
若題中所給的命題正確,則,
該結(jié)論明顯成立.即說法④正確;
綜上可得:真命題的序號為①③④.
點睛:處理兩個向量的數(shù)量積有三種方法:利用定義;利用向量的坐標運算;利用數(shù)量積的幾何意義.具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇,同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用.
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】已知在中,
,且
.
(1)求角的大小;
(2)設(shè)數(shù)列滿足
,前
項和為
,若
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線,則下列結(jié)論正確的是 ( )
A. 把向左平移
個單位長度,得到的曲線關(guān)于原點對稱
B. 把向右平移
個單位長度,得到的曲線關(guān)于
軸對稱
C. 把向左平移
個單位長度,得到的曲線關(guān)于原點對稱
D. 把向右平移
個單位長度,得到的曲線關(guān)于
軸對稱
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