已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，以原點為圓點，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切。

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設(shè)P（4，0），A,B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交隨圓C于另一點E，證明直線AE與x軸相交于定點Q；

【解析】（1）離心率為得=，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切，b==，解得a2=4，b2=3；（Ⅱ）直線PB的方程為y=k(x-4)

 

【答案】

：（Ⅰ）由題意知e==，所以e2===．即a2=b2．

又因為b==，所以a2=4，b2=3．故橢圓的方程為=1.…4分

（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為y=k(x-4)，和橢圓方程聯(lián)立解決．

由,得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0．  ①…6分

設(shè)點B(x1,y1)，E(x2,y2)，則A(x1,-y1)．直線AE的方程為y-y2=(x-x2)．令y=0，得x=x2-．將y1=k(x1-4)，y2=k(x2-4)代入，

整理，得x=．  ②…8分

由①得x1+x2=，x1x2=…10分   代入②整理，得x=1．

所以直線AE與x軸相交于定點Q(1,0)

 

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2013年四川省資陽市高考數(shù)學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過（1，1）與（，）兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，橢圓C上一點M滿足|MA|=|MB|．求證：++為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年陜西省高考數(shù)學壓軸卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2線與圓x2+y2=b2相切于點A，并與橢圓C交與不同的兩點P，Q，如圖，PF1⊥PQ，若A為線段PQ的靠近P的三等分點，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年吉林省高考數(shù)學仿真模擬試卷9（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），直線l為圓O：x2+y2=b2的一條切線，記橢圓C的離心率為e．
（1）若直線l的傾斜角為，且恰好經(jīng)過橢圓的右頂點，求e的大小；
（2）在（1）的條件下，設(shè)橢圓的上頂點為A，左焦點為F，過點A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點，過A、B、F三點的圓恰好與直線l：x+y+3=0相切，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高考數(shù)學總復(fù)習備考綜合模擬試卷（3）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），直線l為圓O：x2+y2=b2的一條切線，記橢圓C的離心率為e．
（1）若直線l的傾斜角為，且恰好經(jīng)過橢圓的右頂點，求e的大��；
（2）在（1）的條件下，設(shè)橢圓的上頂點為A，左焦點為F，過點A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點，過A、B、F三點的圓恰好與直線l：x+y+3=0相切，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年四川省攀枝花市高三12月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，且在x軸上的頂點分別為

（1）求橢圓方程；

（2）若直線：與軸交于點T，P為上異于T的任一點，直線分別與橢圓交于M、N兩點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論.

 

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