Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=1-a_n．
（1）證明：{a_n}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（2）若b_n=log₂a_n，令${c_n}=\frac{1}{{{b_{2n-1}}{b_{2n+1}}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，a₁=1-a₁，所以${a_1}=\frac{1}{2}$，當n≥2時，S_n-1=1-a_n-1，S_n=1-a_n，兩式相減得2a_n=a_n-1，即可得出結(jié)論；
（2）求出數(shù)列的通項，利用裂項法求和即可．

解答 （1）證明：當n=1時，a₁=1-a₁，所以${a_1}=\frac{1}{2}$，
當n≥2時，S_n-1=1-a_n-1，S_n=1-a_n，
兩式相減得2a_n=a_n-1，
所以$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$．
因此{a_n}是首項為${a_1}=\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．
于是${a_n}=\frac{1}{2}{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}={（{\frac{1}{2}}）^n}$．
（2）解：由${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}{（{\frac{1}{2}}）^n}=-n$，
所以${c_n}=\frac{1}{{{b_{2n-1}}{b_{2n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
${T_n}=\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]$=$\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{2n+1}}）}]$=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項與求和，考查等比數(shù)列的證明，考查裂項法的運用，屬于中檔題．