Question

已知函數(shù)f（x）=

x3+sinx

(x2+cosx)+1

，
（1）f（a）=

3

2

，則f（-a）=

 

，
（2）f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的最大值為M，最小值為m，則m+M=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，再利用f（a）求f（-a）的值；
（2）由f（x）是[-

π

2

，

π

2

]上是奇函數(shù)，單調(diào)性一致，f（x）的最大值與最小值互為相反數(shù)，計(jì)算m+M即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x3+sinx

(x2+cosx)+1

，
∴f（-x）=

(-x)3+sin(-x)

(-x)2+cos(-x)+1

=-

x3+sinx

x2+cosx+1

=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數(shù)；
當(dāng)f（a）=

3

2

時(shí)，f（-a）=-f（a）=-

3

2

；
（2）∵f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上是奇函數(shù)，且單調(diào)性一致，
∴不妨設(shè)函數(shù)f（x）的最大值M=f（

π

2

），最小值m=f（-

π

2

），
則m+M=f（-

π

2

）+f（

π

2

）=-f（

π

2

）+f（

π

2

）=0．
故答案為：-

3

2

；0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是判斷出f（x）是奇函數(shù)．