Question

14．已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*），a₂=-9．
（1）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a₅=-$\frac{1}{3}$，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₆=-1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，當(dāng)b₁b₂…b_m=1（m∈N^*）時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解方程可得首項(xiàng)和公比，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解方程可得首項(xiàng)和公差，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，進(jìn)而得到b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-13，再由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，
a₂=-9，a₅=-$\frac{1}{3}$，可得a₁q=-9，a₁q⁴=-$\frac{1}{3}$，
解得q=$\frac{1}{3}$，a₁=-27，
可得a_n=a₁q^n-1=-（$\frac{1}{3}$）^n-4，（n∈N^*）；
（2）數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，
a₂=-9，a₆=-1，可得a₁+d=-9，a₁+5d=-1，
解得a₁=-11，d=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=2n-13，
b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-13，
b₁b₂…b_m=1，可得2${\;}^{\frac{1}{2}m（2m-24）}$=1，
可得m（m-12）=0，
解得m=12（0舍去）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．