Question

15．如圖，已知邊長為4的菱形ABCD中，AC∩BD=O，∠ABC=60°．將菱形ABCD沿對角線AC折起得到三棱錐D-ABC，二面角D-AC-B的大小為60°，則直線BC與平面DAB所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 取OB中點H，連接DH，則可證DH⊥平面ABC，求出S_△ABCD，V_D-ABC，利用等體積法得出C到平面ABD的距離d，于是BC與平面DAB所成角的正弦值為$\fracmmcpkqj{BC}$．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AC⊥OD，AC⊥OB，OB=OD=2$\sqrt{3}$．
∴∠DOB為二面角D-AC-B的平面角，∴∠BOD=60°．
∴△OBD是等邊三角形，
取OB的中點H，連接DH．則DH⊥OB，DH=3．
∵AC⊥OD，AC⊥OB，OD∩OB=O，
∴AC⊥平面OBD，∴AC⊥DH，
又AC∩OB=O，AC?平面ABC，OB?平面ABC，
∴DH⊥平面ABC．
∴V_D-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•DH$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×3$=4$\sqrt{3}$．
∵AD=AB=4，BD=OB=2$\sqrt{3}$，
∴△ABD的邊BD上的高h(yuǎn)=$\sqrt{13}$．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}BD•h$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{13}$=$\sqrt{39}$．
設(shè)C到平面ABD的距離為d，則V_C-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•d$=$\frac{1}{3}×\sqrt{39}h$，
∵V_D-ABC=V_C-ABD，
∴4$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{39}h}{3}$，∴$d=\frac{12}{13}\sqrt{13}$，
∴直線BC與平面DAB所成角的正弦值為$\fracbgtsnmz{BC}$=$\frac{3}{13}\sqrt{13}$．
故答案為：$\frac{3}{13}\sqrt{13}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積與線面角的計算，屬于中檔題．