已知sin²30°＋sin²90°＋sin²150°＝，sin²5°＋sin²65°＋sin²125°＝．

通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并給出證明．

已知一個數(shù)列{a_n}的各項是1或3，首項為1，且在第k個1和第k＋1個1之間有2k－1個3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…記數(shù)列的前n項和為S_n．

(1)試問第2009個1為該數(shù)列的第幾項？

(2)求a₂₀₀₉；

(3)求S₂₀₀₉．

眾所周知，三角形的兩邊之和大于第三邊；根本不存在一條邊大于其他兩邊之和的三角形．請你結合歷史知識，試將這一幾何定理與社會政治現(xiàn)象作類比推理，并說明道理．

函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝成立．

(1)求f()和f()＋f()(n∈N₊)的值；

(2)數(shù)列{a_n}滿足：a_n＝f(0)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1)，問：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列嗎？

已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且當x＞0時，f(x)＞1．

(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；

(2)若f(4)＝5，解不等式：f(3m²－m－2)＜3．

已知x∈N₊，位于和之間，求x取值的所有可能情況．

有下列要素：糖、鹽、堿、有機物、物質、醋、無機物、酒精，請設計一個結構圖表示這些要素及其關系．

一個學校高中部的組織結構圖如圖所示：

試問：學校的最高領導是誰？高三年級主任的直接領導是誰？

根據(jù)如圖所示的算法框圖，將輸出的x，y值依次分別記為x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₇；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₇．

(1)求數(shù)列{x_n}的通項公式；

(2)寫出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出數(shù)列{y_n}的一個通項公式，并證明你的結論．

閱讀如圖所示的流程圖，回答問題：若a＝，b＝，c＝，則輸出哪一個數(shù)(用字母a，b，c表示)？