某觀測(cè)站C在城A的南偏西20°方向上，從城A出發(fā)有一條公路，走向是南偏東40°，在距C處31公里的公路上的B處有一個(gè)人正沿著公路向城A走去，走20公里后到達(dá)D處，測(cè)得CD＝21公里，求這時(shí)此人距城A多少公里？某同學(xué)甲已經(jīng)由余弦定理求得．

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₁斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列．

(Ⅰ)求E的離心率；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求E的方程．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(a，b)(a＞b＞0)為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，已知△F₁PF₂為等腰三角形．

(Ⅰ)求橢圓的離心率e；

(Ⅱ)設(shè)直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M是直線PF₂上的點(diǎn)，滿足·＝－2，求點(diǎn)M的軌跡方程．

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且

(1)當(dāng)，時(shí)，求a，c的值；

(2)若角B為銳角，求p的取值范圍．

一緝私艇在A處發(fā)現(xiàn)在其北偏東45°方向，距離12 nmile的海面C處有一走私船正以10 nmile/h的速度沿東偏南15°方向逃竄．緝私艇的速度為14 nmile/h，若要在最短的時(shí)間內(nèi)追上該走私船，緝私艇應(yīng)沿北偏東45°＋α的方向去追，求追及所需的時(shí)間和α角的正弦值．

如圖所示，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A、B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)P到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和為4．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F₂作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求△F₁PQ的面積．

已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面為正三角形，側(cè)棱與底面垂直，D是BC的中點(diǎn)，AA₁＝AB＝1．

(1)求證：A₁C∥平面AB₁D；

(2)求點(diǎn)C到平面AB₁D的距離．