已知橢圓過點(0，1)，且離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)A₁，A₂為橢圓C的左、右頂點，直線與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A₁，A₂的動點，直線A₁P，A₂P分別交直線l于E，F兩點．證明：|DE|·|DF|恒為定值．

如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，

(Ⅰ)求證：PD⊥AC；

(Ⅱ)在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E－BD－A的大小為45°．若存在，試求的值，若不存在，請說明理由．

設函數f(x)＝ax²＋bx＋clnx，(其中a，b，c為實常數)

(Ⅰ)當b＝0，c＝1時，討論f(x)的單調區(qū)間；

(Ⅱ)曲線y＝f(x)(其中a＞0)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝3x－3，

(ⅰ)若函數f(x)無極值點且(x)存在零點，求a，b，c的值；

(ⅱ)若函數f(x)有兩個極值點，證明f(x)的極小值小于－．

已知數列{a_n}的首項a₁＝1，a₂＝3，前n項和為S_n，且，(n≥2，n∈N^*)，設b₁＝1，b_n+1＝log₂(a_n＋1)＋b_n．

(Ⅰ)判斷數列{a_n＋1}是否為等比數列，并證明你的結論；

(Ⅱ)設，證明：；

(Ⅲ)對于(Ⅰ)中數列{a_n}，若數列{l_n}滿足l_n＝log₂(a_n＋1)(n∈N^*)，在每兩個l_k與l_k+1之間都插入2^k－1(k＝1，2，3，…k∈N^*)個2，使得數列{l_n}變成了一個新的數列{t_p}，(p∈N^*)試問：是否存在正整數m，使得數列{t_p}的前m項的和T_m＝2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

已知橢圓方程為，其下焦點F₁與拋物線x²＝－4y的焦點重合，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點，與拋物線交于C、D兩點．當直線l與y軸垂直時，．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)求過點O、F₁(其中O為坐標原點)，且與直線(其中c為橢圓半焦距)相切的圓的方程；

(Ⅲ)求＝時直線l的方程，并求當斜率大于0時的直線l被(II)中的圓(圓心在第四象限)所截得的弦長．

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．

(Ⅰ)求證：直線AB₁⊥平面A₁BD；

(Ⅱ)求二面角A－A₁D－B的大小正弦值；

(Ⅲ)當＝λ時，異面直線DE和AC所成的角為90°時，求CE的長．

盒內有大小相同的10個球，其中3個紅色球，3個白色球，4個黑色球．

(Ⅰ)現從該盒內任取3個球，規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得－1分．設三個球得分之和ξ，求ξ的分布列與數學期望；

(Ⅱ)甲乙兩人做摸球游戲，設甲從該盒內摸到黑球的概率是，乙從該盒內摸到黑球的概率是，甲，乙兩人各摸球3次，求兩人共摸中2次黑球的概率．

已知函數，其中a為實數．

(Ⅰ)當時，求函數f(x)的極大值點和極小值點；

(Ⅱ)若對任意a∈(2，3)及x∈[1，3]時，恒有ta²－f(x)＞成立，求實數t的取值范圍．

(Ⅲ)已知g(x)＝a²x²＋ax＋1，m(x)＝x³－(a²＋)x²＋(2a＋5)x－3，h(x)＝f(x)＋m(x)，設函數是否存在a，對任意給定的非零實數x₁，存在惟一的非零實數x₂(x₂≠x₁)，使得(x₂)＝(x₁)成立？若存在，求a的值；若不存，請說明理由．

橢圓的中心在坐標原點，其左焦點F₁與拋物線y²＝－4x的焦點重合，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點，與拋物線交于C、D兩點．當直線l與x軸垂直時，．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)求過點F₁、O(O為坐標原點)，并且與直線(其中a為長半軸長，c為橢圓的半焦距)相切的圓的方程；

(Ⅲ)求＝時直線l的方程．

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°．

(Ⅰ)求證：直線BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)求直線PB與平面PAD所成角的正切值；

(Ⅲ)已知M在線段PC上，且BM＝DM＝2，CM＝3，求二面角B－MC－D的余弦值．