已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

（x≠0，a∈R）
（1）當(dāng)a=4時，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若f（1）＞0，試求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

2014世界園藝博覽會在青島舉行，某展銷商在此期間銷售一種商品，根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套商品售價為x元時，銷量可以達到15-0.1x萬套，供貨商把該產(chǎn)品的供貨價格分為兩部分，其中固定價格為每套30元，浮動價格與銷量（單位：萬套）成反比，比例系數(shù)為k，假設(shè)不計其它成本，即每套產(chǎn)品銷售利潤=售價-供貨價格．
（1）若售價為50元時，展銷商的總利潤為180萬元，求售價為100元時的銷售總利潤；
（2）若k=10，求銷售這套商品總利潤的函數(shù)f（x），并求f（x）的最大值．

過雙曲線x²-

y2

b2

=1的左頂點A作斜率為1的直線l，若l與該雙曲線的其中一條漸近線相交于點（

1

2

，y₀），則該雙曲線的離心率是．

雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），斜率為2的直線l過雙曲線C₁的右焦點，且與雙曲線C₁左右支各有一個交點，則雙曲線C₁離心率取值范圍．

有兩個投資項目A、B，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A項目的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖甲，B項目的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖乙．（注：利潤與投資單位：萬元）

（1）分別將A、B兩個投資項目的利潤表示為投資x（萬元）的函數(shù)關(guān)系式f（x）和g（x），求y=f（x），y=g（x）在同一坐標系內(nèi)圍成封閉圖形的面積；
（2）現(xiàn)將x（0≤x≤10）萬元投資A項目，10-x萬元投資B項目．h（x）表示投資A項目所得利潤與投資B項目所得利潤之和．求h（x）的最大值，并指出x為何值時，h（x）取得最大值．

給出下列定義：
①對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動點；
②若函數(shù)的定義域區(qū)間與值域區(qū)間完全相同，則稱該區(qū)間為函數(shù)的保值區(qū)間．
設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2ax+a²+a（x∈R），則該函數(shù)有（　�。�

定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足：對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈[0，1〕，時f（x）=

x

，則函數(shù)g（x）=3f（x）-x，在R上的零點個數(shù)是（　�。�

試就實數(shù)k的取值，討論|x²-2x-3|=k的解的個數(shù)．

O點為圓O的圓心，點A，B在圓O上，且點A在第一象限，點B（-

3

5

，

4

5

），點C為圓O與x軸正半軸的交點，設(shè)∠COB=θ，求sin2θ的值．