已知動圓P過點F(0，

1

4

)且與直線y=-

1

4

相切．
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作一條直線交軌跡C于A，B兩點，軌跡C在A，B兩點處的切線相交于點N，M為線段AB的中點，求證：MN⊥x軸．

（選修4-5：不等式選講）
求函數(shù)y=

1-x

+

4+2x

最大值．

若兩條曲線的極坐標方程分別為p=l與p=2cos（θ+

π

3

），它們相交于A，B兩點，求線段AB的長．

求使等式

2 4 3 5

=

2 0 0 1

M

1 0 0 -1

成立的矩陣M．

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（Ⅰ）若|f（x）|=g（x）有兩個不同的解，求a的值；
（Ⅱ）若當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求h（x）=|f（x）|+g（x）在[-2，2]上的最大值．

已知橢圓C：

x2

2

+y2=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，下頂點為A，點P是橢圓上任一點，⊙M是以PF₂為直徑的圓．
（Ⅰ）當⊙M的面積為

π

8

時，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當⊙M與直線AF₁相切時，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求證：⊙M總與某個定圓相切．

某廣告公司為2010年上海世博會設計了一種霓虹燈，樣式如圖中實線部分所示．其上部分是以AB為直徑的半圓，點O為圓心，下部分是以AB為斜邊的等腰直角三角形，DE，DF是兩根支桿，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜

π

4

）．現(xiàn)在弧EF、線段DE與線段DF上裝彩燈，在弧AE、弧BF、線段AD與線段BD上裝節(jié)能燈．若每種燈的“心悅效果”均與相應的線段或弧的長度成正比，且彩燈的比例系數(shù)為2k，節(jié)能燈的比例系數(shù)為k（k＞0），假定該霓虹燈整體的“心悅效果”y是所有燈“心悅效果”的和．
（1）試將y表示為x的函數(shù)；
（2）試確定當x取何值時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳．

設數(shù)列{a_n} 的前n項和S_n=n²，數(shù)列{b_n} 滿足bn=

an

an+m

(m∈N*)．
（Ⅰ）若b₁，b₂，b₈ 成等比數(shù)列，試求m 的值；
（Ⅱ）是否存在m，使得數(shù)列{b_n} 中存在某項b_t 滿足b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差數(shù)列？若存在，請指出符合題意的m
的個數(shù)；若不存在，請說明理由．

設△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足(2a+c)

BC

•

BA

+c

CA

•

CB

=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2

3

，試求

AB

•

CB

的最小值．