設(shè)數(shù)列滿足a₁=2，a_n+1-a_n=3•2^2n-1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=na_n，求數(shù)列的前n項和S_n．

正實數(shù)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=5，且{a_n²}成等差數(shù)列．
（1）證明數(shù)列{a_n}中有無窮多項為無理數(shù)；
（2）當(dāng)n為何值時，a_n為整數(shù)，并求出使a_n＜200的所有整數(shù)項的和．

證明以下命題：
（1）對任一正整a，都存在整數(shù)b，c（b＜c），使得a²，b²，c²成等差數(shù)列．
（2）存在無窮多個互不相似的三角形△_n，其邊長a_n，b_n，c_n為正整數(shù)且a_n²，b_n²，c_n²成等差數(shù)列．

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=x²+4x+5，g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g'（x）（e為自然對數(shù)底數(shù)）．
（Ⅰ）若函數(shù)y=

f(2x)

e

-ag'（x）+4a有最小值0，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）記h（x）=f（x+2n）-ng（x）（n為常數(shù)），若存在唯一實數(shù)x₀，同時滿足：（i）x₀是函數(shù)h（x）的零點；（ii）h′（x₀）=0．試確定x₀、n的值，并證明函數(shù)h（x）在R上為增函數(shù)．

如圖，已知M（m，m²）、N（n，n²）是拋物線C：y=x²上兩個不同點，且m²+n²=1，m+n≠0，直線l是線段MN的垂直平分線．設(shè)橢圓E的方程為

x2

2

+

y2

a

=1(a＞0，a≠2)．
（Ⅰ）當(dāng)M、N在拋物線C上移動時，求直線L斜率k的取值范圍；
（Ⅱ）已知直線L與拋物線C交于A、B、兩個不同點，L與橢圓E交于P、Q兩個不同點，設(shè)AB中點為R，OP中點為S，若

OR

•

OS

=0，求橢圓E離心率的范圍．

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，AB=

3

，BC=4．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求直線AB與平面PDC所成角；
（3）設(shè)點E在棱PC、上，

PE

=λ

PC

，若DE∥面PAB，求λ的值．

某商場“五．一”期間舉行有獎促銷活動，顧客只要在商店購物滿800元就能得到一次摸獎機會．摸獎規(guī)則是：在盒子內(nèi)預(yù)先放有5個相同的球，其中一個球標(biāo)號是0，兩個球標(biāo)號都是40，還有兩個球沒有標(biāo)號．顧客依次從盒子里摸球，每次摸一個球（不放回），若累計摸到兩個沒有標(biāo)號的球就停止摸球，否則將盒子內(nèi)球摸完才停止．獎金數(shù)為摸出球的標(biāo)號之和（單位：元），已知某顧客得到一次摸獎機會．
（Ⅰ）求該顧客摸三次球被停止的概率；
（Ⅱ）設(shè)ξ（元）為該顧客摸球停止時所得的獎金數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

設(shè)函數(shù)f(x)=2sin2(

π

4

+x)-acos2x-1(x∈R，a為常數(shù))，已知x=

5π

12

時f（x）取到最大值2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱，求滿足x∈（0，π）且f（x）-2g（x）=3的所有x的值．

給機器人輸入一個指令（m，2^m+48）（m＞0），則機器人在坐標(biāo)平面上先面向x軸正方向行走距離m，接著原地逆時針旋轉(zhuǎn)90⁰再面向y軸正方向行走距離2^m+48，這樣就完成一次操作．機器人的安全活動區(qū)域是：

x≤6 y∈R

，開始時機器人在函數(shù)f（x）=2^x圖象上的點P處且面向x軸正方向，經(jīng)過一次操作后機器人落在安全區(qū)域內(nèi)的一點Q處，且點Q恰好也在函數(shù)f（x）圖象上，則向量

PQ

的坐標(biāo)是