Question

19．有一傾角θ=37°的硬桿，其上套有一下端固定于O點，勁度系數(shù)為k=100N/m的輕彈簧，彈簧的自由端位于硬桿上的Q處．硬桿OQ部分光滑，PQ部分粗糙，彈簧與桿間無摩擦．一個質(zhì)量為m=1kg的小球套在此硬桿上，從P點由靜止開始滑下，已知小球與硬桿間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，PQ間的距離為L=0.91m．彈簧的彈性勢能與其形變量x的關(guān)系為E_p=$\frac{1}{2}$kx²，不計空氣的阻力做功及小球與彈簧碰撞時的能量損失．（已知g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8 ）．求：
（1）小球在運動過程中達到最大速度時彈簧的形變量是多少；
（2）小球在運動過程中所能達到的最大速度v_m；
（3）經(jīng)過較長的時間后，系統(tǒng)能夠處于穩(wěn)定狀態(tài)．試對這一穩(wěn)定狀態(tài)作簡單描述．并求出整個過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱能．

Answer 1

分析 （1）當加速度為零時小球的速度最大，由平衡條件和胡克定律結(jié)合求彈簧的形變量．
（2）小球由P點無初速滑下至彈簧被壓縮至最大的過程中，對小球運用功能關(guān)系列式，可求得最大速度v_m．
（3）經(jīng)過較長的時間后，小球?qū)⒃赒點以下做來回往復式運動，小球的機械能與彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，整個系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)．根據(jù)能量守恒求．

解答 解：（1）當小球從P點無初速滑下時，彈簧被壓縮至x處時小球的加速度為零，速度有最大值，因為硬桿OQ部分光滑，則有：
mgsinθ=kx
代入數(shù)據(jù)得：x=0.06m     
（2）小球由P點無初速滑下至彈簧被壓縮至x=0.06m處的過程中，對小球運用功能關(guān)系，有：
 mgsinθ（l+x）-μmgcosθl-W_彈=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
又 W_彈=$\frac{1}{2}$kx²
即：mgsinθ（l+x）-μmgcosθl-$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v_m=2m/s                                
（3）經(jīng)過較長的時間后，小球?qū)⒃赒點以下做來回往復式運動，小球的機械能與彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，整個系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)．在不計空氣的阻力做功及小球與彈簧碰撞時的能量損失的情況下，全過程中系統(tǒng)的機械能減小量即為整個過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱能． 有：
Q=mglsinθ=5.46J
答：（1）小球在運動過程中達到最大速度時彈簧的形變量是0.06m；
（2）小球在運動過程中所能達到的最大速度v_m是2m/s；
（3）經(jīng)過較長的時間后，小球?qū)⒃赒點以下做來回往復式運動，小球的機械能與彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，整個系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)．整個過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱能是5.46J．

點評 小球運動過程較為清晰，涉及摩擦力做功和彈力做功，應用動能定理或能量守恒定律均可解決，注意彈力做功轉(zhuǎn)化為彈性勢能．