Question

17．1981年12月3日發(fā)現(xiàn)的國(guó)際編號(hào)為“3463”的小行星命名為“高錕星”．已知“高錕星”半徑為R，其表面的重力加速度為g，萬(wàn)有引力常量為G，在不考慮自轉(zhuǎn)的情況，求解以下問(wèn)題：（以下結(jié)果均用字母表達(dá)即可）
（1）衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運(yùn)行的第一宇宙速度；
（2）假設(shè)“高錕星”為一均勻球體，試求“高錕星”的平均密度；（球體積V=$\frac{4}{3}$πR³）
（3）假設(shè)某衛(wèi)星繞“高錕星”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且運(yùn)行周期為T，求該衛(wèi)星距地面的高度．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是近地飛行的衛(wèi)星的運(yùn)行速度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供回?fù)暨\(yùn)動(dòng)向心力和星球表面重力萬(wàn)有引力相等求得星球的第一宇宙速度；
（2）根據(jù)重力與萬(wàn)有引力相等求得“高錕星”的質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求得該星的密度；
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力由衛(wèi)星運(yùn)行的周期和星球的質(zhì)量求得衛(wèi)星距該星表面的高度．

解答 解：（1）第一宇宙速度時(shí)近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度，滿足萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，而在星球表面重力與萬(wàn)有引力相等有：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運(yùn)行的第一宇宙速度為：
v₁=$\sqrt{gR}$；
（2）根據(jù)星球表面重力與萬(wàn)有引力相等有：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
可得高錕星的質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
根據(jù)密度公式有，該星的平均速度為：
$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$；
（3）設(shè)高錕星質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，軌道半徑r，根據(jù)題意有：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
由（2）得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
所以可得衛(wèi)星的軌道半徑為：
r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
所以衛(wèi)星距地面高度為：
h=r-R=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
答：（1）衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運(yùn)行的第一宇宙速度為$\sqrt{gR}$；
（2）“高錕星”的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$；
（3）該衛(wèi)星距地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

點(diǎn)評(píng) 解決天體問(wèn)題的兩個(gè)主要入手點(diǎn)：一是星球表面重力與萬(wàn)有引力相等，二是萬(wàn)有引力提供環(huán)繞天體的向心力．