Question

11．如圖，AB平臺(tái)末端有擋板，一個(gè)被壓縮彈簧末端連接擋板，一端與一個(gè)質(zhì)量為m=0.5kg的小球接觸，小球一開始靜止于A點(diǎn)，AB之間的距離S=1m，小球與平臺(tái)動(dòng)摩擦因素為u₁=0.2，CD為半徑等于r=0.4$\sqrt{2}$豎直放置的光滑細(xì)圓管，O為細(xì)圓管的圓心，CO與豎直線的夾角為45°；一上表面粗糙木板DE放在光滑水平面上，末端與光滑斜面DE通過長度可忽略的光滑圓弧連接．現(xiàn)釋放彈簧，彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能，從B點(diǎn)水平拋出，恰好能垂直于OC從C點(diǎn)進(jìn)入細(xì)圓管，小球從進(jìn)入小球從進(jìn)入圓管開始受到始終豎直向上的力F=5N的作用，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓管的末端C時(shí)作用力F立即消失，能平滑的沖上粗糙長木板DE，已知DE的長度L=1m，斜面高度h=0.2m，DEF質(zhì)量M=1.5kg．

（1）小球在B點(diǎn)水平拋出的初速度v₀；
（2）彈簧一開始具有的彈性勢能；
（3）要使小球在EF上與M達(dá)到共同速度，求小球與長木板DE的動(dòng)摩擦因素的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）小球從B運(yùn)動(dòng)到C為平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解小球在B點(diǎn)水平拋出的初速度v₀．
（2）對(duì)小球從A運(yùn)動(dòng)到B運(yùn)用動(dòng)能定理，可求出彈力做功，從而根據(jù)功能關(guān)系求彈簧一開始具有的彈性勢能．
（3）小球在木板上運(yùn)動(dòng)過程，水平方向動(dòng)量守恒，能量也守恒，根據(jù)球恰好在E點(diǎn)與M達(dá)到共同速與恰好在F點(diǎn)與M達(dá)到共同速度兩種情況，由動(dòng)量守恒和能量守恒列式，可求解．

解答 解：（1）小球從B運(yùn)動(dòng)到C為平拋運(yùn)動(dòng)，有：
  rsin45°=v₀t
在B點(diǎn)，有：tan45$°=\frac{gt}{{v}_{0}}$
解以上兩式得：v₀=2m/s
（2）對(duì)小球從A運(yùn)動(dòng)到B運(yùn)用動(dòng)能定理，可得W-μ₁mgs=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又由功能關(guān)系有：E_p=W
代入數(shù)據(jù)可得彈簧一開始具有的彈性勢能為 E_p=2J 
（3）在c 點(diǎn)據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的速度規(guī)律有：v_c=$\frac{v_0}{{sin{{45}^0}}}=2\sqrt{2}m/s$
小球在管中的受力分析為三個(gè)力：由于重力與外加的力F平衡，故小球所受的合力僅為管的外軌對(duì)它的壓力，得小球在管中做勻速圓周運(yùn)動(dòng) v_D=v_C．
小球最終于M達(dá)到共同速度，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
  mv_D=（M+m）v_共
（ I）球恰好在E點(diǎn)與M達(dá)到共同速度，由能量守恒得 μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{共}^{2}$
可得 μ=0.3．
（ II）若小球恰好在F點(diǎn)與M達(dá)到共同速度，有 μmgL+mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{共}^{2}$
可得 μ=0.1
綜上所述，小球與長木板DE的動(dòng)摩擦因素的取值范圍為0.1≤μ≤0.3
答：
（1）小球在B點(diǎn)水平拋出的初速度v₀為2m/s．
（2）彈簧一開始具有的彈性勢能為2J；
（3）要使小球在EF上與M達(dá)到共同速度，小球與長木板DE的動(dòng)摩擦因素的取值范圍為0.1≤μ≤0.3．

點(diǎn)評(píng) 本題是力學(xué)綜合題，關(guān)鍵要正確分析物體的運(yùn)動(dòng)過程，把握每個(gè)過程的物理規(guī)律．對(duì)于物體在水平軌道上運(yùn)動(dòng)過程，要抓住兩大守恒：動(dòng)量守恒和能量守恒建立方程．