Question

（2013?開(kāi)封一模）如圖所示，質(zhì)量為M的汽車(chē)通過(guò)質(zhì)量不計(jì)的繩索拖著質(zhì)量為m的車(chē)廂（可作為質(zhì)點(diǎn)）在水平地面上由靜止開(kāi)始做直線運(yùn)動(dòng)．已知汽車(chē)和車(chē)廂與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，汽車(chē)和車(chē)廂之間的繩索與水平地面間的夾角為θ，汽車(chē)的額定功率為P，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．為使汽車(chē)能盡快地加速到最大速度又能使汽車(chē)和車(chē)廂始終保持相對(duì)靜止，問(wèn)：
（1）汽車(chē)所能達(dá)到的最大速度為多少？
（2）汽車(chē)能達(dá)到的最大加速度為多少？
（3）汽車(chē)以最大加速度行駛的時(shí)間為多少？

Answer 1

分析：（1）對(duì)汽車(chē)和車(chē)廂整體分析，當(dāng)牽引力等于阻力時(shí)，速度最大．求出阻力，根據(jù)P=Fv=fv，求出最大速度．
（2）對(duì)車(chē)廂隔離分析，當(dāng)車(chē)廂所受的支持力為0，此時(shí)加速度最大．根據(jù)車(chē)廂在豎直方向上合力等于0，水平方向上產(chǎn)生合力求出最大加速度．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出加速度最大時(shí)的牽引力，根據(jù)P=Fv，求出勻加速直線運(yùn)動(dòng)的最大速度，根據(jù)v=at求出勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）當(dāng)汽車(chē)達(dá)到最大速度時(shí)汽車(chē)的功率為P且牽引力與汽車(chē)和車(chē)廂所受摩擦力大小相等，即F=f
由于在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中汽車(chē)和車(chē)廂保持相對(duì)靜止，所以汽車(chē)和車(chē)廂所受的摩擦力為
f=μ（M+m）g
又  P=Fv
由上述三式可知汽車(chē)的最大速度為：v=

P

μ(M+m)g

．
答：汽車(chē)所能達(dá)到的最大速度為v=

P

μ(M+m)g

．
（2）要保持汽車(chē)和車(chē)廂相對(duì)靜止，就應(yīng)使車(chē)廂在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離地面．
考慮臨界情況為車(chē)廂剛好未脫離地面，此時(shí)車(chē)廂受到的力為車(chē)廂重力和繩索對(duì)車(chē)廂的拉力T，
設(shè)此時(shí)車(chē)廂的最大加速度為a，則有：
水平方向  Tcosθ=ma
豎直方向 Tsinθ=mg              　
由上兩式得：a=gcotθ
答：汽車(chē)能達(dá)到的最大加速度為gcotθ．
（3）因?yàn)榇藭r(shí)汽車(chē)作勻加速運(yùn)動(dòng)，所以
F-f=（M+m）a
f=μ（m+M）g　　 
即  F=（μ+cotθ）（M+m）g
因汽車(chē)達(dá)到勻加速最大速度時(shí)汽車(chē)的功率達(dá)到額定功率，根據(jù)P=Fv_m．
由題意知，汽車(chē)一開(kāi)始就做加速度最大的勻加速運(yùn)動(dòng)，勻加速的最大速度為 v_m=at
所以以最大加速度勻加速的時(shí)間為：t=

P

(μ+cotθ)(m+M)g2cotθ

．
答：汽車(chē)以最大加速度行駛的時(shí)間為

P

(μ+cotθ)(m+M)g2cotθ

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了整體法和隔離法，知道當(dāng)牽引力等于阻力時(shí)，速度最大．以恒定加速度運(yùn)動(dòng)，求出牽引力，即可得出勻加速直線運(yùn)動(dòng)的最大速度．