Question

如圖9-8-5所示，輕彈簧（勁度系數(shù)為k）的下端固定在地面上，其上端和一質(zhì)量為M的木板B相連接，在木板B上又放有一個質(zhì)量為m的物塊P.當(dāng)系統(tǒng)上下振動時，欲使P、B始終不分離，則輕彈簧的最大壓縮量為多大？

圖9-8-5

   

Answer 1

解析：方法一：P和B整體的上下振動是簡諧運(yùn)動，回復(fù)力由總重力和彈簧彈力的合力提供，故有F_合=kx，其中x為偏離平衡位置的位移.據(jù)牛頓第二定律有系統(tǒng)受到的合外力產(chǎn)生了系統(tǒng)的加速度a，即F_合=（M+m）a，由以上兩式可得kx=(M+m)a.而物體P做簡諧運(yùn)動的回復(fù)力由其所受重力和B對P的支持力的合力提供，當(dāng)P和B在平衡位置下方時，加速度方向向上，P處于超重狀態(tài)，P不可能和B分離，因此P和B將分離的位置一定在上方最大位移處，此時P受B的支持力為零，對P有mg=ma_m，得a_m=g，對系統(tǒng)分析可知此時彈簧彈力為零，即振動上方最大位移處彈簧恰為原長.由以上各式可得x_m=A=，由位移的對稱性可知彈簧壓縮最大時振子位移向下達(dá)到最大，x_m=，故彈簧的最大壓縮量為Δx_m=2A=.

    方法二：系統(tǒng)簡諧運(yùn)動的回復(fù)力由總重力和彈簧彈力的合力提供，而P做簡諧運(yùn)動的回復(fù)力由其所受重力和B對P的支持力的合力提供，分析得到P和B將分離的位置一定在上方最大位移處，此時有mg=ma_m，得a_m=g.由加速度的對稱性可知彈簧壓縮時最大加速度也為a_m=g，所以輕彈簧的最大壓縮量應(yīng)滿足關(guān)系式kΔx_m-(M+m)g=(M+m)a_m，即得Δx_m=.

    答案：