Question

【題目】如圖所示，空間中有一水平面，其右側(cè)為一垂直于水平面的墻面．現(xiàn)使空間內(nèi)具有一勻強(qiáng)磁場，大小為，方向如圖所示，已知一質(zhì)量為，帶電量為的小球，在距墻左處的水平面上以速度開始向右水平運(yùn)動，設(shè)球與水平面動摩擦因數(shù)為，且與墻的碰撞為彈性的．試問：

（1）要使小球曾經(jīng)運(yùn)動到平面以上，且最后以垂直于墻面的速度與墻相碰，以上數(shù)據(jù)應(yīng)滿足的條件．

（2）設(shè)小球可以運(yùn)動到平面以上，并且為（1）中所滿足條件的次小值，而且由小球運(yùn)動到靜止用時為．小球最終停在何處？

（3）若小球始終緊貼水平面運(yùn)動，且最終靜止于原出發(fā)點(diǎn)，則從出發(fā)到靜止耗時為多少？

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) (3)

【解析】

（1）若要小球可以運(yùn)動到平面以上，則首先有，接下來，我們將分解成和，其中，則．于是小球的運(yùn)動分解成水平向右的速度為的直線運(yùn)動及速率為的逆時針方向的勻速圓周運(yùn)動的合成，且易知此圓周運(yùn)動中，有

，．

當(dāng)小球速度垂直于墻時，此時，現(xiàn)討論如下：

①，即，則此種情況下，小球運(yùn)動的軌跡下方拐點(diǎn)處速度向右，上方拐點(diǎn)處速度向左，當(dāng)小球垂直撞墻時，必有，則

②，即，則此種情況下，小球運(yùn)動的軌跡上、下方拐點(diǎn)處的速度都向右，則時，小球均可垂直撞墻，故有

另外，當(dāng)時，我們注意到小球軌跡為如圖所示，要使小球在處于時碰撞，則拐點(diǎn)面必須在面左方，即是說，對于任一，要求有

其中，為圓周運(yùn)動半徑，，對于上式右邊求最值，易知，即合速度豎直向上時，右邊最大，從而應(yīng)滿足

化簡得

綜上所述．?dāng)?shù)據(jù)應(yīng)滿足條件為（1*）或（2*）如下

1* ．

2* ．

（2）當(dāng)滿足（1）中條件1*時，我們知，，

故由題意，碰后返回所用時間為．

而這段時間內(nèi)，有支持力，且滿足．

從而，直到小球停止時，總沖量

．

其中即小球碰后所有距離，由動量定理，則．

故而得：．

同理，當(dāng)滿足（1）中條件2*時，得．

（3）由題意，此時，對于碰墻前時刻，有．

故而，．

與（2）同理可知，碰墻速度滿足．

而對于碰撞后到靜止，同理有，故而．

所以總時間．