Question

14．如圖是一個同學(xué)打秋千的示意圖．人最初站立在B點(diǎn)的踏板上，速度為0，繩與豎直方向成θ角，θ=45°，人的重心到懸點(diǎn)O的距離為L₁=2m．從B點(diǎn)向最低點(diǎn)A擺動的過程中，人由直立狀態(tài)自然下蹲，在最低點(diǎn)A人下蹲狀態(tài)時的重心到懸點(diǎn)的距離為（1+$\sqrt{2}$）m．到最低點(diǎn)A后人又由下蹲狀態(tài)突然變成直立狀態(tài)且保持直立狀態(tài)不變，直到擺向另一方的最高點(diǎn)C（設(shè)人的質(zhì)量為40kg，踏板質(zhì)量不計(jì)，任何阻力不計(jì)，g=10m/s²）求：
（1）當(dāng)人剛擺到最低點(diǎn)A且處于下蹲狀態(tài)時，人的動能和繩子的拉力各為多大？
（2）人保持直立狀態(tài)到達(dá)另一方的最高點(diǎn)C時，繩子與豎直方向的夾角α為多大？

Answer 1

分析 （1）人由A點(diǎn)向B點(diǎn)（還處于下蹲狀態(tài)時）的過程中，只有重力做功，運(yùn)用機(jī)械能守恒求出到達(dá)B點(diǎn)時的速度大小，由牛頓第二定律列式求拉力F．
（2）人從B點(diǎn)保持直立狀態(tài)到達(dá)C點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒求解α．

解答 解：（1）人由A點(diǎn)向B點(diǎn)（還處于下蹲狀態(tài)時）的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒得：
mg（l₂-l₁cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在最低點(diǎn)B，有：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{{l}_{2}}$
解得：E=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=400J；
F=731.2N
（2）人從B點(diǎn)保持直立狀態(tài)到達(dá)C點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mgl₁（1-cosα）
解得α=arccos（cosθ-$\frac{{l}_{2}-{l}_{1}}{{l}_{1}}$）
解得：α=60°
答：（1）人的動能和繩子的拉力各為400J和731.2N
（2）人第一次到達(dá)最高點(diǎn)C時，繩與豎直方向的夾角α為60度

點(diǎn)評 本題是實(shí)際問題，要建立模型，將實(shí)際問題進(jìn)行簡化，再運(yùn)用機(jī)械能守恒和牛頓定律結(jié)合進(jìn)行處理．