Question

5．如圖在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直向上的勻強(qiáng)磁場中，有一上、下兩層均與水平面平行的“U”型光滑金屬導(dǎo)軌，在導(dǎo)軌面上各放一根完全相同的質(zhì)量為m勻質(zhì)金屬桿A₁和A₂，開始時兩根金屬桿位于同一豎直面內(nèi)且與軌道垂直．設(shè)兩導(dǎo)軌面相距為H，導(dǎo)軌寬為L，導(dǎo)軌足夠長且電阻不計，金屬桿的單位長度電阻值為r．現(xiàn)有質(zhì)量為$\frac{1}{2}$m的不帶電小球以水平向右的速度v₀撞擊桿A₁的中點(diǎn)，撞擊后小球反彈落到下層面上的C點(diǎn)．C點(diǎn)與桿A₂初始置相距為s．求：
（1）當(dāng)桿A₂與桿A₁的速度比為1：3時，A₂受到的安培力大小．
（2）整個運(yùn)動過程中感應(yīng)電流最多產(chǎn)生了多少熱量？

Answer 1

分析 金屬桿A₁、A₂兩桿在同一個金屬U形導(dǎo)軌上都做變速運(yùn)動，運(yùn)動方向相同（都向右），同一時刻兩桿都切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，兩個感應(yīng)電動勢在空間中的方向相同（都向外），但兩個感應(yīng)電動勢在回路中的方向相反，所以總電動勢是這兩個電動勢之差，即E=BL（v₁-v₂），方向為金屬桿A₁中感應(yīng)電流的方向，因為A₁比A₂產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大，從而求出A₂受到的安培力大小，根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律、動量守恒定律、能量守恒定律解決問題．

解答 解：（1）設(shè)撞擊后小球反彈的速度為v₁，金屬桿A1的速度為v₀₁，根據(jù)動量守恒定律，$\frac{1}{2}$mv₀=$\frac{1}{2}$m（-v₁）+mv₀₁，①
 根據(jù)平拋運(yùn)動的分解，有
 　s=v₁t，H=$\frac{1}{2}$gt²
 　由以上2式解得v₁=s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$ ②
 �、诖�入①得v₀₁=$\frac{1}{2}$（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）     
設(shè)金屬桿A₁、A₂速度大小分別為v₁、v₂，根據(jù)動量守恒定律，
mv₀₁=mv1+mv₂，又$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{3}{1}$，所以
v₁=$\frac{3}{4}$v₀₁，v₂=$\frac{1}{4}$v₀₁．
金屬桿A₁、A₂速度方向都向右，根據(jù)右手定則判斷A₁、A₂產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢在回路中方向相反，
所以感應(yīng)電動勢為E=BL（v₁-v₂），電流為I=$\frac{E}{2Lr}$，安培力為F=BIL，
所以A₂受到的安培力大小為F=$\frac{{B}^{2}L}{8r}$（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）．
（2）因為在安培力的作用下，金屬桿A₁做減速運(yùn)動，金屬桿A₂做加速運(yùn)動，當(dāng)兩桿速度大小相等時，回路內(nèi)感應(yīng)電流為0，根據(jù)能量守恒定律，$\frac{1}{2}$mv₀₁²=Q+$\frac{1}{2}$•2mv²    ⑤
其中v是兩桿速度大小相等時的速度，根據(jù)動量守恒定律，
mv₀₁=2mv，所以v=$\frac{1}{2}$v₀₁，代入⑤式得
Q=$\frac{1}{16}$m（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）²   
答：（1）當(dāng)桿A₂與桿A₁的速度比為1：3時，A₂受到的安培力大小為$\frac{{B}^{2}L}{8r}$（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）．
（2）整個運(yùn)動過程中感應(yīng)電流最多產(chǎn)生了$\frac{1}{16}$m（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）² 的熱量．

點(diǎn)評 注重金屬桿A₁、A₂兩桿的運(yùn)動過程分析，清楚同一時刻兩桿都切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢時，根據(jù)兩個感應(yīng)電動勢在回路中的方向會求出電路中總的感應(yīng)電動勢．