Question

1．如圖所示，質(zhì)量為M的小車靜止在光滑水平軌道上，下面用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛在質(zhì)量為m的沙箱，一顆質(zhì)量為m₀的子彈以v₀的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后運(yùn)動(dòng)過程中，求：
（1）沙箱上升的最大高度；
（2）小車的最大速度．

Answer 1

分析 （1）子彈打入沙箱過程中動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式，擺動(dòng)過程中，子彈、沙箱、小車系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒．沙箱到達(dá)最大高度時(shí)系統(tǒng)有相同的速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）子彈和沙箱再擺回最低點(diǎn)時(shí)，小車速度最大，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式，聯(lián)立方程即可求解；

解答 解：（1）子彈打入沙箱過程中動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
m₀v₀=（m₀+m）v₁①
擺動(dòng)過程中，子彈、沙箱、小車系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒．
沙箱到達(dá)最大高度時(shí)系統(tǒng)有相同的速度，設(shè)為v₂，則有：
（m₀+m）v₁=（m₀+m+M）v₂②
$\frac{1}{2}（{m}_{0}+m）{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}（{m}_{0}+m+M）{{v}_{2}}^{2}+（{m}_{0}+m）gh$③
聯(lián)立①②③可得$h=\frac{{{m}_{0}}^{2}M{{v}_{0}}^{2}}{2（{m}_{0}+m）^{2}（{m}_{0}+m+M）g}$
（2）子彈和沙箱再擺回最低點(diǎn)時(shí)，小車速度最大，設(shè)此時(shí)小車速度為v₃，沙箱速度為v₄
由動(dòng)量守恒得：
（m₀+m）v₁=Mv₃+（m₀+m）v₄ ④
由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得
$\frac{1}{2}（{m}_{0}+m）{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}M{{v}_{3}}^{2}+\frac{1}{2}（{m}_{0}+m）{{v}_{4}}^{2}$ ⑤
聯(lián)立④⑤求解得小車最大速度
${v}_{3}=\frac{2{m}_{0}}{{m}_{0}+m+M}{v}_{0}$
答：（1）沙箱上升的最大高度為$\frac{{{m}_{0}}^{2}M{{v}_{0}}^{2}}{2{（{m}_{0}+m）}^{2}（{m}_{0}+m+M）g}$；
（2）小車的最大速度為$\frac{2{m}_{0}}{{m}_{0}+m+M}{v}_{0}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律即可正確解題，解題時(shí)要注意研究對(duì)象與運(yùn)動(dòng)過程的選擇，難度適中．