Question

1．如圖所示，質(zhì)量m=1kg的彈性小球A在長(zhǎng)為l=0.9m的細(xì)輕繩牽引下可以繞水平軸O在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，圓周的最高點(diǎn)為P，小球A在豎直平面內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由于該空間存在某種特殊物質(zhì)的作用，使得小球A在豎直平面內(nèi)每轉(zhuǎn)動(dòng)半周都會(huì)損失一部分動(dòng)能，設(shè)每次損失的動(dòng)能均為它每次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)動(dòng)能的9.5%，現(xiàn)小球在頂點(diǎn)P以v₀=25m/s的初速度向左轉(zhuǎn)動(dòng)，P處有一水平槽，槽內(nèi)有許多質(zhì)量均為M=5kg的彈性鋼球，小球A每次轉(zhuǎn)動(dòng)到P點(diǎn)恰好與P點(diǎn)處的小鋼球發(fā)生彈性正碰，鋼球水平飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，每次被小球A碰撞后，槽內(nèi)填充裝置可將鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)填充到P點(diǎn)位置且靜止，已知水平地面距水平槽的高度恰好是1.8m，小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，求：
（1）小球A第一次過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩的拉力（保留3位有效數(shù)字）
（2）小球A能將鋼球碰出去的鋼球個(gè)數(shù)
（3）第一個(gè)鋼球與最后一個(gè)鋼球落地后的水平距離（保留3為有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）由功能關(guān)系可求得小球在底部時(shí)的速度；再由向心力公式可求得作用力的大�。�
（2）對(duì)小球碰撞過(guò)程由動(dòng)量守恒定律及機(jī)械能守恒定律可求得碰后的速度大小，分析整體過(guò)程，得出通項(xiàng)式從而求得個(gè)數(shù)；
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得第一個(gè)鋼球與最后一個(gè)鋼球落地后的水平距離．

解答 解：（1）小球A從頂部運(yùn)動(dòng)到底部過(guò)程根據(jù)功能關(guān)系有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}×（1-9.5%）+2mgl=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律知：${F}_{T}-mg=m\frac{v{′}^{2}}{l}$，
聯(lián)立可解得：F≈678  N   
（2）小球第一次轉(zhuǎn)回到頂部碰前狀況，設(shè)其速度為v₁，根據(jù)題意可知，損失部分機(jī)械能，重力勢(shì)能不變，
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}×（1-2×9.5%）=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}×81%=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得v₁=0.9v₀．
小球A在頂部與鋼球碰撞，由動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律得：
mv₁=mv₁′+Mv″，
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}Mv{″}^{2}$，
聯(lián)立解得：${v}_{1}′=\frac{m-M}{M+m}{v}_{1}=-\frac{3}{5}{v}_{0}=-15m/s$，負(fù)號(hào)表示與碰前入射速度方向相反
同理可得，碰撞n次以后瞬間的速度為v_n'，則：
v_n'=$\frac{m-M}{M+m}{v}_{n}$=-（$\frac{3}{5}$）ⁿv₀，負(fù)號(hào)表示與碰前入射速度方向相反，
小球要能與鋼球碰撞則必須能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，所以碰n次后假定再次到達(dá)P位置，其速度一定有：
v_n+1=0.9vn'$≥\sqrt{gL}$
所以：（$\frac{3}{5}$）ⁿv₀$≥\sqrt{gL}$
解得：n＜5，由于n是自然數(shù)，所以n=4，小球A可以與4 個(gè)鋼球碰撞；
（3）第一個(gè)鋼球碰后速度：v₁₂=$\frac{m}{M}$（v₁-v₁'）=$\frac{1}{5}$×（22.5+15）=7.5m/s；  
第4個(gè)鋼球碰撞后速度：v₅₄=$\frac{m}{M}$（v₄-v₄'）=$\frac{1}{50}$×（$\frac{3}{5}$）⁴v₀=0.0648m/s；
由于兩球是分別朝向左右兩邊做平拋運(yùn)動(dòng)的，所以水平距離是：x=x₁+x₄
平拋時(shí)間是：t=$\sqrt{\frac{4L}{g}}$=$\sqrt{\frac{4×0.9}{10}}$=0.6s；
x₁=v₂₁t
x₄=v₅₄t
x=x₁+x₄
解得：x=5.47m
答：小球A第一次過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩的拉力為678N；
（2）小球A能將鋼球碰出去的鋼球個(gè)數(shù)為4個(gè)；
（3）第一個(gè)鋼球與最后一個(gè)鋼球落地后的水平距離為5.47m

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒定律及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律等問(wèn)題，要注意正確分析物理過(guò)程，明確物理規(guī)律的正確應(yīng)用．