Question

14．圓形的木板靜止在水平面上，在圓心處放一個可視為質點的小鐵塊，小鐵塊底部涂有黑色顏料，小鐵塊的質量為m，小鐵塊和木板間的動摩擦因素μ．在外力作用下圓木板以加速度a向右做勻加速運動，運動時間為T，小鐵塊相對圓木板滑動，隨后圓木板以相同的加速度大小做勻減速運動，運動時間也為T．
（1）若小鐵塊不從圓木板上滑下，則圓木板的半徑至少為多大？
（2）若小鐵塊不從圓木板上滑下，則小鐵塊停止在距離圓心多遠處？
（3）若小鐵塊不從圓木板上滑下，μ=0.1，a=3m/s²，T=1s，m=1kg，則小鐵塊和圓木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量為多少？

Answer 1

分析 （1）由題意可知，木板的加速度要大于鐵塊的加速度，所以撤去拉力后，木板的速度要大于鐵塊的速度，所以木板減速運動后，鐵塊仍然要做一段時間的加速運動，直到二者的速度相等后，鐵塊才開始減速．在這之前，木板的速度大于鐵塊的速度，鐵塊相對于木板一直向后運動，到速度相等時，二者之間位移的差即為所求．由勻變速直線運動的位移公式即可求出；
（2）鐵塊開始減速后，木板也繼續(xù)減速，由于鐵塊的加速度比較小，所以鐵塊的速度將大于木板的速度，鐵塊相對于木板向前運動，二者都停止后產(chǎn)生的位移差，與（1）的結果的差，即為所求；
（3）由前兩問的結果，將因摩擦產(chǎn)生的熱量的計算公式Q=fL_相對，即可求出結果．

解答 解：（1）鐵塊在水平方向受到摩擦力的作用做勻加速直線運動，加速度：$a′=\frac{μmg}{m}=μg$
由題意，設撤去拉力后再經(jīng)過時間t鐵塊與木板的速度才相對，得：
a（T-t）=a′（T+t）
所以：$t=\frac{a-a′}{a+a′}T=\frac{a-μg}{a+μg}•T$   ①
木板加速階段的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{T}^{2}$，②
木板減速階段的位移：${x}_{2}=aT•t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$   ③
鐵塊的位移：${x}_{3}=\frac{1}{2}a′（T+t）^{2}$  ④
在這之前，木板的速度大于鐵塊的速度，鐵塊相對于木板一直向后運動，所以它們之間位移的差：
△x₁=x₁+x₂-x₃   ⑤
聯(lián)立①②③④⑤得：△x₁=$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$   ⑥
小鐵塊不從圓木板上滑下，則圓木板的半徑至少為$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$．
（2）此后，木板運動到停止時的時間是（T-t），木板的位移：${x}_{4}=a（T-t）•（T-t）-\frac{1}{2}a（T-t）^{2}$⑦
鐵塊水平方向受到摩擦力的作用做減速運動，所以加速度仍然等于a′，由運動的對稱性可知，鐵塊減速階段的位移與加速階段的位移相等，等于x₃．
鐵塊相對于木板向前的位移：△x₂=x₃-x₄⑧
聯(lián)立③④⑦⑧得：△x₂=$\frac{2a•μg（a-μg）}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$    ⑨
所以此時鐵塊到木板的圓心的距離是：
L=△x₁-△x₂=$\frac{2{a}^{3}-{a}^{2}μg+4a{μ}^{2}{g}^{2}-{μ}^{3}{g}^{3}}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$
（3）鐵塊加速階段，鐵塊相對于木板的位移是；鐵塊減速階段，鐵塊相對于木板的位移是；
所以小鐵塊和圓木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q=f（△x₁+△x₂）=μmg（△x₁+△x₂）
將μ=0.1，a=3m/s²，T=1s，m=1kg，以及⑥⑨代入上式，得：
Q=3.25J
答：（1）若小鐵塊不從圓木板上滑下，則圓木板的半徑至少為$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$；
（2）若小鐵塊不從圓木板上滑下，則小鐵塊停止在距離圓心$\frac{2{a}^{3}-{a}^{2}μg+4a{μ}^{2}{g}^{2}-{μ}^{3}{g}^{3}}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$處；
（3）若小鐵塊不從圓木板上滑下，μ=0.1，a=3m/s²，T=1s，m=1kg，則小鐵塊和圓木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量為3.25J．

點評 該題通過鐵塊與木板的相對運動，考查運動的過程中產(chǎn)生的熱量，屬于多個物體、多個過程的問題．由于涉及的過程比較復雜，所以一定要理清鐵塊和木板的運動的過程，特別是在求木板的最小半徑的過程中，不能當成是木板速度最大時二者之間位移的差．