Question

2．如圖矩形區(qū)域abcd為有界勻強(qiáng)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界，bd對(duì)角線為電場(chǎng)和磁場(chǎng)的分界線，且與bc邊夾角為60°，bc=5m，電場(chǎng)強(qiáng)度為E=6.0×10⁴N/C．在bc邊界上P點(diǎn)有一放射源，在紙面所在的平面內(nèi)向磁場(chǎng)中的各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m=1.0×10^-20kg、電荷量為q=1.0×10^-12C的正電粒子，粒子的發(fā)射速度相等，bP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$m，已知射入電場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為π×10^-6s，并且其軌跡恰好與bd相切．求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度及粒子的速度大�。�
（2）射入電場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間；
（3）在（2）問(wèn)前提下，粒子射出電場(chǎng)的位置．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力提供向心力，得出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的時(shí)間條件，即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度，然后由幾何關(guān)系即可求出速度；
（2）然后由幾何關(guān)系找出時(shí)間最短的條件即可求出時(shí)間；
（3）粒子進(jìn)入電場(chǎng)后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合幾何關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可知，粒子的初速度的方向向右，并且剛好與bd邊相切時(shí)，射入電場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，如圖：

粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：r=$\frac{mv}{qB}$
$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
已知射入電場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為π×10^-6s，則：t=T
代入數(shù)據(jù)得：B=0.02T
粒子的半徑：$r=\overline{bp}•tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{3}$m
由半徑公式可得：$v=\frac{qBr}{m}=\frac{1.0×1{0}^{-12}×0.02×\frac{4}{3}}{1×1{0}^{-20}}=\frac{8}{3}×1{0}^{6}$m/s
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡的弦長(zhǎng)為P到bd之間的距離時(shí)，弦長(zhǎng)最短，粒子的偏轉(zhuǎn)角可以最小，軌跡如圖：

$\overline{pM}=\overline{bp}•sin60°=\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=2$m
設(shè)此時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為α：$sin\frac{α}{2}=\frac{\overline{pM}}{2r}=\frac{2}{2×\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$
所以：α=98°
粒子運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間：${t}_{min}=\frac{98°}{360°}×t≈1.28×1{0}^{-6}$s
（3）當(dāng)偏轉(zhuǎn)角是α=98°時(shí)的時(shí)間最短，由幾何關(guān)系可知，此時(shí)入射方向與bc之間的夾角是101°，則粒子偏轉(zhuǎn)后，與水平方向之間的夾角是：
101°+98°-180°=19°，如圖
粒子沿水平方向的分速度：v_x=v•cos19°=$\frac{8}{3}×1{0}^{6}×0.9455=2.52×1{0}^{6}$m/s
$\overline{bM}=\overline{bp}cos60°=\frac{2\sqrt{3}}{3}$m
粒子穿過(guò)電場(chǎng)的時(shí)間：$t′=\frac{\overline{bM}sin30°}{{v}_{x}}=2.29×1{0}^{-7}$s
粒子在電場(chǎng)中的加速度：$a=\frac{qE}{m}=\frac{1.0×1{0}^{-12}×6×1{0}^{4}}{1.0×1{0}^{-20}}=6×1{0}^{12}$m/s²
粒子沿豎直方向的分速度：${v}_{y}=v•sin19°=\frac{8}{3}×1{0}^{6}×0.3255=8.68×1{0}^{5}$m/s
粒子在豎直方向的位移：$y={v}_{y}t′-\frac{1}{2}at{′}^{2}$=4.14×10^-2m
射出點(diǎn)的位移：${y}_{0}=\overline{bM}cos30°-y=1-4.14×1{0}^{-2}≈0.96$m
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是0.0T，粒子的速度大小$\frac{8}{3}×1{0}^{6}$m/s；
（2）射入電場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間是1.28×10^-6s；
（3）在（2）問(wèn)前提下，粒子射出電場(chǎng)的位置是在b點(diǎn)上方0.96m處．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)與帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)注意題意中給出的條件；同時(shí)要注意帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)類(lèi)題目一定要畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，在軌跡中尋找相關(guān)的幾何關(guān)系．