Question

17．將質量為m=1kg的煤塊A輕放在以2m/s的恒定速度順時針轉動的足夠長水平傳送帶上后，已知煤塊與傳送帶間動摩擦因數μ=0.05．
（1）求煤塊在傳送帶上留下的劃痕長度？
（2）求摩擦力對煤塊做的功w₁？摩擦力對傳送帶做的功w₂？
（3）若使該傳送帶改做加速度大小為1.5m/s²的勻減速運動直至速度為零，并且在傳送帶開始做勻減速運動的同時，將另一煤塊B輕放在傳送帶上，則B停止在傳送帶上的位置與其在傳送帶上劃線起點間的距離為多少？

Answer 1

分析 （1）當煤塊在傳送帶上加速到速度和傳送帶速度相同之后，與傳送帶一起做勻速運動，故劃痕長度，即為煤塊加速階段與傳送帶的相對位移，由牛頓第二定律求出加速度，由運動學公式分別求出加速時間，加速過程中的位移，傳送帶的位移，作差即為劃痕長度．
（2）傳送帶對煤塊的摩擦力和煤塊對傳送帶的摩擦力為一對作用力與反作用力，大小相等，方向相反，直接根據功的定義求出分別對傳送帶做的功．
（3）第二次煤塊B放在傳送帶后先做勻加速運動，速度與傳送帶相同后，根據傳送帶的加速度與煤塊B加速度關系，判斷煤塊B的運動情況，根據位移公式和位移關系求解該煤塊B在傳送帶上能留下的劃線的長度．

解答 解：（1）設水平傳送帶的恒定初速度為v₀，以煤塊為研究對象，設煤塊的速度達到v₀前的加速度大小為a，由牛頓第二定律得：μmg=ma，
代入數據解得：a=0.5m/s²，
達到v₀所用時間：t=$\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{2}{0.5}=4s$；
傳送帶運動的距離：x₁=v₀t=2×4=8m
煤塊運動的距離：${x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×0.5×{4}^{2}=4m$
此過程中劃出的痕跡長度為：△x=x₁-x₂=8-4=4m
（2）在煤塊加速過程中，傳送帶對煤塊的摩擦力為：f=μmg=0.05×1×10=0.5N
這個過程中，煤塊對傳送帶的摩擦力大小也為f，故摩擦力對煤塊做的功和摩擦力對傳送帶做的功大小相等，即：
w₁=w₂=f△x=0.5×4=2J
其中，摩擦力對煤塊做的功w₁為正功，摩擦力對傳送帶做的功w₂為負功；
（3）煤塊B先加速到與傳送帶速度相同，設二者達到的相同速度為v′，傳送帶減速運動的加速度為a₀，由運動學公式得：
$\frac{{v}_{0}-v′}{{a}_{0}}=\frac{v′}{a}$
即：$\frac{2-v′}{1.5}=\frac{v′}{0.5}$
解得：v′=0.5m/s
此過程傳送帶比煤塊多走的距離：${s}_{1}=\frac{{{v}_{0}}^{2}-v{′}^{2}}{2{a}_{0}}$-$\frac{v{′}^{2}}{2a}$
代入數據得：s₁=1m
由于a₀＞μg，故二者不能共同減速，煤塊以μg的加速度減速到靜止．傳送帶的加速度大，先停下來．
煤塊減速到零的過程煤塊比傳送帶多走的距離：s₂=$\frac{v{′}^{2}}{2a}-\frac{v{′}^{2}}{2{a}_{0}}$
代入數據解得：${s}_{2}=\frac{1}{6}m$
可見，煤塊相對于傳送帶先后滑1m，后又向前滑$\frac{1}{6}m$，故煤塊B停止在傳送帶上的位置與劃線起點間的距離為：$△s={s}_{1}-{s}_{2}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}m$
答：（1）煤塊在傳送帶上留下的劃痕長度位4m．
（2）摩擦力對煤塊做正功，大小為2J，摩擦力對傳送帶做負功，大小為2J．
（3）若使該傳送帶改做加速度大小為1.5m/s²的勻減速運動直至速度為零，并且在傳送帶開始做勻減速運動的同時，將另一煤塊B輕放在傳送帶上，則B停止在傳送帶上的位置與其在傳送帶上劃線起點間的距離為$\frac{5}{6}m$．

點評 分析清楚煤塊的運動過程，應用牛頓第二定律與運動學公式即可正確解題，煤塊在傳送帶留下的劃線的長度等于兩者相對位移大小，分析煤塊的運動情況是關鍵．