Question

18．如圖所示，在直角坐標(biāo)xOy平面內(nèi)，在y＜0的區(qū)域有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，在y＞0的區(qū)域有磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B的勻強(qiáng)磁場，它們的方向皆垂直xOy平面向里，在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子a以大小為2v的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間△t=$\frac{πm}{qB}$后，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子b以大小為v的速度從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿y軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過時(shí)間t粒子a、b第一次相遇．不計(jì)粒子重力及a、b間的相互作用力，求：
（1）粒子b剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子a的坐標(biāo)位置；
（2）從粒子b剛開始運(yùn)動(dòng)到a、b第一次相遇，粒子b運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t；
（3）若粒子a、b第一次相遇即發(fā)生彈性碰撞且碰撞時(shí)間不計(jì)，碰后a、b各自帶電量不變，求再經(jīng)時(shí)間$\frac{πm}{2qB}$時(shí)，粒子a、b間的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子a在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出軌道半徑和周期表達(dá)式；結(jié)合時(shí)間確定位置坐標(biāo)；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求解出粒子b的軌道半徑和周期，通過軌跡確定相遇的位置和時(shí)間；
（3）粒子a、b第一次相遇時(shí)的速度方向均是向上，是彈性碰撞，此后先根據(jù)周期和半徑公式得到軌道半徑和周期，在確定位置和間距．

解答 解：（1）a粒子在y＞0的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r_a1，根據(jù)牛頓第二定律，有：
q（2v）2B=m$\frac{（2v）^{2}}{{r}_{a1}}$
解得：
r_a1=$\frac{mv}{qB}$
周期：
T_a1=$\frac{2πm}{q×2B}$=$\frac{πm}{qB}$
a粒子在y＜0的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r_a2，
r_a2=$\frac{2mv}{qB}$  
周期：
${T}_{a2}=\frac{2πm}{qB}$
經(jīng)時(shí)間△t=$\frac{πm}{qB}$，粒子a在上面磁場運(yùn)動(dòng)半周，在下面磁場運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圓周；
故粒子a的坐標(biāo)位為（0，-$\frac{2mv}{qB}$）；
（2）同理可得：
b粒子在y＞0的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r_b1=$\frac{mv}{2qB}$    
周期：${T}_{b1}=\frac{πm}{qB}$
b粒子在y＜0的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r_b2=$\frac{mv}{qB}$     
周期：T_b2=$\frac{2πm}{qB}$
畫圖分析粒子a、b得運(yùn)動(dòng)軌跡可知：

從粒子b剛開始運(yùn)動(dòng)，到a、b第一次相遇，坐標(biāo)為（0，$\frac{4mv}{qB}$），故粒子b運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t=$\frac{4πm}{qB}$；
（3）粒子a、b第一次發(fā)生彈性碰撞，因質(zhì)量相等，速度交換
再經(jīng)時(shí)間$\frac{πm}{2qB}$時(shí)，由位置關(guān)系可得：粒子a、b間的距離：
d=$\sqrt{（\frac{2mv}{qB}）^{2}+（\frac{3mv}{qB}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}mv}{qB}$
答：（1）粒子b剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子a的坐標(biāo)位置為（0，-$\frac{2mv}{qB}$）；
（2）從粒子b剛開始運(yùn)動(dòng)到a、b第一次相遇，粒子b運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t為$\frac{4πm}{qB}$；
（3）若粒子a、b第一次相遇即發(fā)生彈性碰撞且碰撞時(shí)間不計(jì)，碰后a、b各自帶電量不變，再經(jīng)時(shí)間$\frac{πm}{2qB}$時(shí)，粒子a、b間的距離為$\frac{\sqrt{13}mv}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)出粒子的周期和半徑的關(guān)系，然后畫出兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖，結(jié)合軌跡示意圖進(jìn)行分析，不難．