Question

9．我國研制的“神舟”七號載人飛船順利升空后，首先沿橢圓軌道運行，然后變軌繞地球作勻速圓周運動．若飛船勻速運轉(zhuǎn)時距地面的高度為h，地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，萬有力常數(shù)為G，求：
①飛船繞地球運行的速率；
②飛船繞地球運行的加速度與地球表面物體重力加速的比值．（忽略地球自轉(zhuǎn)的影響）

Answer 1

分析 在地球表面，重力和萬有引力相等，神舟七號飛船軌道上，萬有引力提供飛船做圓周運動的向心力；
忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式；月球繞地球在引力提供向心力作用下做勻速圓周運動，從而可求出球繞地球運行的向心加速度與地球表面的重力加速度的之比．

解答 解：①地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m
對飛船有：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
解得v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
②物體在地球表面所受的重力等于其引力，則有：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
飛船繞地球在引力提供向心力作用下做勻速圓周運動，則有：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=ma_n
聯(lián)立上兩式可得：a_n：g=R²：（R+h）²；
答：①飛船繞地球運行的速率$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$；
②飛船繞地球運行的加速度與地球表面物體重力加速的比值R²：（R+h）²．

點評 萬有引力的應用兩點注意：（1）星球表面的重力和萬有引力相等；（2）環(huán)繞天體受的萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力．注意軌道半徑和距地面距離的關系；
由重力近似等于萬有引力得到的表達式g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$被稱為黃金代換式．