Question

3．在地面附近豎直平面內(nèi)有一范圍足夠大的互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向水平并垂直紙面向外，一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為-q的帶電微粒在此區(qū)域恰好做速度大小為v的勻強(qiáng)圓周運(yùn)動(dòng)，（重力加速度為g）．求：
（1）求此區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；
（2）若某時(shí)刻微粒運(yùn)動(dòng)到場(chǎng)中距地面高度為H的P點(diǎn)時(shí)，速度與水平方向成45°，如圖所示，則該微粒至少須經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)到距地面最高點(diǎn)？最高點(diǎn)距地面多高？
（3）若當(dāng)微粒運(yùn)動(dòng)P點(diǎn)時(shí)，突然撤去磁場(chǎng)，同時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度大小不變，方向水平向右，則該微粒運(yùn)動(dòng)中距地面的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)及重力場(chǎng)能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有電場(chǎng)力與重力平衡，而洛倫茲力提供向心力．從而根據(jù)平衡條件可確定電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向；
（2）由粒子所受洛倫茲力提供向心力，從而求出運(yùn)動(dòng)圓弧的半徑與周期，再根據(jù)幾何關(guān)系來(lái)確定圓弧最高點(diǎn)與地面的高度及運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）當(dāng)撤去磁場(chǎng)時(shí)，粒子受到重力與電場(chǎng)力作用，從而做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．因此此運(yùn)動(dòng)可看成豎直方向與水平方向兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用動(dòng)能定理可求出豎直的高度，最終可算出結(jié)果．

解答 解：（1）帶電微粒在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力與重力應(yīng)平衡，有mg=Eq，即E=$\frac{mg}{q}$，方向豎直向下．
（2）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為R，如圖所示．
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
根據(jù)幾何關(guān)系可確定，最高點(diǎn)與地面的距離為：H_m=H+R（1+cos45°）
解得：${H}_{m}=H+\frac{mv}{qB}（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
該微粒運(yùn)動(dòng)周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$，
根據(jù)運(yùn)動(dòng)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，可得粒子運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)所用時(shí)間為：t=$\frac{3T}{8}$=$\frac{3πm}{4qB}$，
（3）設(shè)粒子上升高度為h，由動(dòng)能定理得：$-mgh-qEhcos45°=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：h=$\frac{m{v}^{2}}{2（mg+qE）}$=$\frac{{v}^{2}}{4g}$
微粒離地面最大高度為H+$\frac{{v}^{2}}{4g}$．
答：（1）此區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為$\frac{mg}{q}$，方向豎直向下．
（2）該微粒至少須經(jīng)$\frac{3πm}{4qB}$時(shí)間運(yùn)動(dòng)到距地面最高點(diǎn)，最高點(diǎn)距地面$H+\frac{mv}{qB}（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
（3）微粒運(yùn)動(dòng)中距地面的最大高度是H+$\frac{{v}^{2}}{4g}$．

點(diǎn)評(píng) 運(yùn)用共點(diǎn)力平衡條件、牛頓第二定律、動(dòng)能定理等規(guī)律，及由洛倫茲力提供向心力來(lái)確定線速度大小與周期．同時(shí)借助于數(shù)學(xué)的幾何關(guān)系來(lái)確定已知長(zhǎng)度與圓弧半徑的關(guān)系．