Question

如圖所示，在光滑水平面向右的直線上有均可視為質(zhì)點(diǎn)的A、B、C三個彈性小球，其質(zhì)量分別為m_A=2m、m_B=m、m_C=3m，其中A、B之間用一彈簧相連．開始時A、B、C都處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧處于原長，且C距B足夠遠(yuǎn)，現(xiàn)給A一個瞬間沖量使A獲得一個水平向右的初速度v₀．當(dāng)B與C發(fā)生碰撞時，時間極短且無機(jī)械能損失．（彈簧始終處于彈性限度內(nèi)）
（1）由于B與C相碰時彈簧的形變未知，試分析計算B與C相碰前彈簧彈性勢能E_p的范圍．
（2）B以最大速度與C相碰后，彈簧所具有的最大彈性勢能大小E_p?．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)彈簧處于原長時，彈性勢能最小E_min=0，當(dāng)A、B兩小球速度相等為時，彈性勢能最大為E_max，由動量守恒定律及能量守恒定律列式即可求解；
（2）分別對BC碰撞前后根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律列式，求出速度，當(dāng)A、B相互時，速度相等，彈性勢能取最大，再根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律列式即可求解．

解答：解：（1）當(dāng)彈簧處于原長時，彈性勢能最小E_min=0
當(dāng)A、B兩小球速度相等為時，彈性勢能最大為E_max
由動量守恒有  2mv₀=（2m+m）v            
由能量守恒   

1

2

×2mv02=

1

2

×3mv2+Emax     
解之得  E_max=

1

3

mv02                         
所以0≤EP≤

1

3

mv02                       
（2）設(shè)碰前B的最大速度為v_B，此時A的速度為v_A，B與C碰后的速度為v′_B C的速度為v′_C
B與C相碰前；由動量守恒 2mv₀=2mv_A+mv_B          
B的速度最大時彈簧處于原長，由能量守恒有

1

2

×2mv02=

1

2

×2mvA2+

1

2

mvB2            
解之得 vA=

2m-m

2m+m

v0=

1

3

v0             
vB=

4m

2m+m

v0=

4

3

v0          
B與C相碰后：動量守恒mv_B=mv′_B+3mv′_C
能量守恒 

1

2

mvB2=

1

2

mv′B2+

1

2

3mv′C2
解之得v′B=

1-3

1+3

v0=-

2

3

v0        
v′C=

2

1+3

×

4

3

v0=

2

3

v0            
當(dāng)A、B相互時，速度相等，彈性勢能取最大
2mv_A+mv′_B=（2m+m）v_共
E′pmax=

1

2

×2mvA2+

1

2

mv′B2-

1

2

(2m+m)v共2
解得：E′pmax=

1

3

mv02
答：（1）由于B與C相碰時彈簧的形變未知，B與C相碰前彈簧彈性勢能E_p的范圍為0≤EP≤

1

3

mv02．
（2）B以最大速度與C相碰后，彈簧所具有的最大彈性勢能大小E_p?為

1

3

mv02．

點(diǎn)評：本題主要考查了動量守恒定律及能量守恒定律的應(yīng)用，知道當(dāng)A、B相互時，速度相等，彈性勢能取最大．