Question

11．某課外小組設(shè)計了一種測定風(fēng)速的裝置，其原理如圖所示，一個勁度系數(shù)k=1300N/m，自然長度L₀=0.5m彈簧一端固定在墻上的M點，另一端N與導(dǎo)電的迎風(fēng)板相連，彈簧穿在光滑水平放置的電阻率較大的金屬桿上，彈簧是不導(dǎo)電的材料制成的．迎風(fēng)板面積S=0.5m²，工作時總是正對著風(fēng)吹來的方向．電路的一端與迎風(fēng)板相連，另一端在M點與金屬桿相連．迎風(fēng)板可在金屬桿上滑動，且與金屬桿接觸良好．定值電阻R=1.0Ω，電源的電動勢E=12V，內(nèi)阻r=0.5Ω．閉合開關(guān)，沒有風(fēng)吹時，彈簧處于原長，電壓表的示數(shù)U₂=3.0V，某時刻由于風(fēng)吹迎風(fēng)板，電壓表的示數(shù)變?yōu)閁₂=2.0V．（電壓表可看作理想表），試分析求解：
（1）此時風(fēng)作用在迎風(fēng)板上的力的大�。�
（2）假設(shè)風(fēng)（運動的空氣）與迎風(fēng)板作用后的速度變?yōu)榱�，空氣的密度�?.3kg/m³，求風(fēng)速多大．
（3）對于金屬導(dǎo)體，從宏觀上看，其電阻定義為：R=$\frac{U}{I}$．金屬導(dǎo)體的電阻滿足電阻定律：R=ρ$\frac{L}{S}$．在中學(xué)教材中，我們是從實驗中總結(jié)出電阻定律的．而“金屬經(jīng)典電子論”認為，電子定向運動是一段一段加速運動的接替，各段加速都是從定向速度為零開始，設(shè)有一段通電導(dǎo)體，其長L，橫截面積為S，電子電量為e，電子質(zhì)量為m，單位體積內(nèi)自由電子數(shù)為n，自由電子兩次碰撞之間的時間為t₀，現(xiàn)在，請同學(xué)們利用金屬電子論，從理論上推導(dǎo)金屬導(dǎo)體的電阻R∝$\frac{L}{S}$．

Answer 1

分析 （1）定值電阻R與金屬桿串聯(lián)，當(dāng)無風(fēng)時，根據(jù)電壓表示數(shù)，應(yīng)用閉合歐姆定律求出電流，再根據(jù)公式R=$\frac{U}{I}$求出金屬桿接入電路的電阻；根據(jù)有風(fēng)時電壓表示數(shù)可用第1題的方法求出金屬桿接入電路的電阻，由電阻再求出此時彈簧的長度，根據(jù)胡克定律F=Kx，求出風(fēng)力．
（2）取極短時間內(nèi)吹到迎風(fēng)板上的空氣為研究對象，應(yīng)用動量定理和牛頓第三定律求出風(fēng)速；
（3）設(shè)電子的平均速率為v，根據(jù)電流微觀表達式I=neSv、電阻的定義公式R=$\frac{U}{I}$、以及公式U=Ed列式求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)無風(fēng)時，定值電阻R與金屬桿串聯(lián)，由歐姆定律得，電路中電流：
I=$\frac{E-{U}_{1}}{R+r}$=6A
此時金屬桿接入電路中的電阻：
R_金=$\frac{{U}_{1}}{I}$=0.5Ω
故金屬桿單位長度的電阻為：
$\frac{{R}_{金}}{{L}_{0}}$=1Ω/m
當(dāng)有風(fēng)時，由歐姆定律得，電路中電流：
I′=$\frac{E-{U}_{2}}{R+r}$=$\frac{20}{3}$A
此時金屬桿接入電路中的電阻：
R_金′=$\frac{{U}_{2}}{I′}$=0.3Ω
此時金屬桿的長度為L=0.3m
根據(jù)胡克定律，作用在迎風(fēng)板上的風(fēng)力：
F=K（L₀-L）=1300（0.5-0.3）N=260N
（2）以在極短時間△t內(nèi)吹到迎風(fēng)板上的空氣為研究對象，取風(fēng)的方向為正方向
根據(jù)動量定理得
-F′△t=0-mV
又m=ρSV△t，F(xiàn)′=F
則F△t=ρSV△t•V
得到V=$\sqrt{\frac{F}{ρS}}$=20m/s
（3）設(shè)導(dǎo)體兩端的電壓為U，自由電子定向運動的平均速率為v，則：
v=$\frac{{v}_{m}}{2}$=$\frac{a{t}_{0}}{2}$=$\frac{eE}{2m}{t}_{0}$
從微觀上看，電流強度：
I=nesv
綜上，由電阻的定義得：
R=$\frac{U}{I}=\frac{EL}{neSv}$=$\frac{EL}{neS\frac{eE}{2m}{t}_{0}}$=$\frac{2m}{n{e}^{2}{t}_{0}}•\frac{L}{S}$∝$\frac{L}{S}$
答：（1）此時風(fēng)作用在迎風(fēng)板上的力的大小為260N；
（2）假設(shè)風(fēng)（運動的空氣）與迎風(fēng)板作用后的速度變?yōu)榱�，空氣的密度�?.3kg/m³，風(fēng)速為20m/s；
（3）證明如上．

點評 本題考查電壓、電流、電阻的計算，關(guān)鍵是歐姆定律的公式及其變形的應(yīng)用以及串聯(lián)電路電壓的規(guī)律．解決力電綜合題，關(guān)鍵尋找力與電的橋梁，本題的橋梁是彈簧的長度．