Question

12．已知某星球半徑為R，若宇航員隨登陸艙登陸該星球后，在此星球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，小球能上升的最大高度為H（H＜＜R），（不考慮星球自轉(zhuǎn)的影響，引力常量為G）．
（1）求星球表面的自由落體加速度和該星球的質(zhì)量；
（2）在登陸前，宇宙飛船繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離星球表面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T．

Answer 1

分析 以初速度v₀豎直上拋一物體，物體在重力作用下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體速度減為0時(shí)，物體上升到最大高度，已知初速度末速度和位移，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移關(guān)系可以求出該星球表面的重力加速度g，衛(wèi)星繞星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力提供萬有引力，據(jù)此列式可得衛(wèi)星運(yùn)行的周期．

解答 解：（1）、在星球表面，拋出小球后做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，
由${v}_{0}^{2}=2gH$
可得表面的重力加速度g=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2H}$
星球表面的物體受到的重力等于萬有引力
$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
可得星球的質(zhì)量$M=\frac{{g{R^2}}}{G}=\frac{{v_0^2{R^2}}}{2GH}$
（2）根據(jù)萬有引力提供飛船圓周運(yùn)動(dòng)的向心力
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$
有飛船的周期為T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$=$\frac{2π（R+h）}{{R{v_0}}}\sqrt{2（R+h）H}$
答：（1）求星球表面的自由落體加速度為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2H}$，該星球的質(zhì)量為$\frac{{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{2GH}$；
（2）在登陸前，宇宙飛船繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離星球表面高度為h，衛(wèi)星的運(yùn)行周期T為$\frac{2π（R+h）}{{R{v_0}}}\sqrt{2（R+h）H}$．

點(diǎn)評(píng) 認(rèn)清豎直上拋運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，根據(jù)勻減速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出物體的重力加速度，注意負(fù)號(hào)含義的交代，衛(wèi)星運(yùn)行的最小周期根據(jù)重力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力列式求解即可．