Question

2．如右圖所示，光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)相接，導(dǎo)軌半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右速度后脫離彈簧，當(dāng)它經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌瞬間對(duì)導(dǎo)軌的壓力為其重力的7倍，之后向上運(yùn)動(dòng)恰能完成半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)．不計(jì)空氣阻力．試求：
（1）物塊m在B點(diǎn)的速度及動(dòng)能
（1）當(dāng)m在A點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能的大��；
（2）物塊m從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)克服阻力做的功的大��；
（3）如果半圓形軌道也是光滑的，其他條件不變，當(dāng)物體由A經(jīng)B運(yùn)動(dòng)到C，然后落到水平面，落點(diǎn)為D（題中未標(biāo)出，且水平面足夠長(zhǎng)），求D點(diǎn)與B點(diǎn)間距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律得出B點(diǎn)的速度，由${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$求的B電動(dòng)能
（2）結(jié)合能量守恒定律求出物體在A點(diǎn)時(shí)的彈簧的彈性勢(shì)能．
（3）物體恰好通過(guò)最高點(diǎn)C，根據(jù)牛頓第二定律求出C點(diǎn)的速度，通過(guò)動(dòng)能定理求阻力做的功
（4）由動(dòng)能定理求的到達(dá)C點(diǎn)的速度，從C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)求的水平位移

解答 解：（1）物塊在B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
F_N=7mg    
解得：${v}_{B}=\sqrt{6gR}$                             
E_kB=$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$=3mgR                                        
（2）在物體從A點(diǎn)至B點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，彈簧的彈性勢(shì)能
Ep=E_kB=3mgR
（3）物體到達(dá)C點(diǎn)僅受重力mg，根據(jù)牛頓第二定律有
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
E_kC=$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}$mgR                                   
物體從B點(diǎn)至C點(diǎn)只有重力和阻力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
W_阻-mg•2R=E_kC-E_kB
解得W_阻=-0.5mR                                     
所以物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)克服阻力做的功為W=0.5mgR．
（4）在物體從B點(diǎn)至C點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：
-mg2R=$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$   
解得：$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$=mgR  
得：v_c=$\sqrt{2gR}$
由C點(diǎn)到D點(diǎn)，物體做平拋運(yùn)動(dòng)，有：
水平方向：X_BD=v_ct                                     
豎直方向：2R=$\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：X_BD=2$\sqrt{2}R$
答：（1）物塊m在B點(diǎn)的速度為$\sqrt{6gR}$，動(dòng)能為3mgR
（1）當(dāng)m在A點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能的大小為3mgR；
（2）物塊m從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)克服阻力做的功的大小為0.5mgR；
（3）如D點(diǎn)與B點(diǎn)間距離為$2\sqrt{2}R$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律和能量守恒定律的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵