Question

17．某興趣小組舉行遙控賽車比賽，比賽路徑如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的賽車從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L=10m后，由B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R=0.4m的光滑豎直半圓軌道，并通過(guò)軌道的最高點(diǎn)C做平拋運(yùn)動(dòng)，落地后才算完成比賽．B是半圓軌道的最低點(diǎn)，水平直線軌道和半圓軌道相切于B點(diǎn)，已知賽車質(zhì)量m=0.5kg，通電后電動(dòng)機(jī)以額定功率P=3W工作，賽車在水平軌道上受到的阻力恒為f=0.4N，g取10m/s²．
（1）要使賽車能通過(guò)C點(diǎn)完成比賽，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的最小速度v_Bm為多少？
（2）要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)工作最短的時(shí)間t_m為多少？
（3）若通過(guò)改裝增大賽車的額定功率，使賽車過(guò)B點(diǎn)速度v_B=8.0m/s，R為多少時(shí)賽車能完成比賽且落地點(diǎn)離B點(diǎn)的距離最大？

Answer 1

分析 （1）小車做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)重力提供向心力時(shí)速度最小，由牛頓第二定律可以求出最小速度，從B到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式即可求解．
（2）從A到C應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出電動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間．
（3）由B到C由機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理求出到C的速度，離開C后小車做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求出小車水平位移的表達(dá)式，然后求出最大水平位移

解答 解：（1）賽車以最小速度通過(guò)最高點(diǎn)C，其經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度最小
從B到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得
$-2mgR=\frac{1}{2}mv_{Cm}^2-\frac{1}{2}mv_{Bm}^2$
在最高點(diǎn)C由牛頓第二定律得$mg=m\frac{{v_{Cm}^2}}{R}$
聯(lián)立解得${v_{Bm}}=2\sqrt{5}$m/s
（2）設(shè)電動(dòng)機(jī)工作的最短時(shí)間為t，賽車從A到C過(guò)程，由動(dòng)能定理得$P{t_m}-fL=\frac{1}{2}mv_{Bm}^2-0$
解得t=3s
（3）小球從B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，
x=v_Ct
$2R=\frac{1}{2}g{t^2}$
從B到C由動(dòng)能定理可得
$-2mgR=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
由上面的三個(gè)式子得$x=\sqrt{\frac{{256R-160{R^2}}}{10}}$，
由數(shù)學(xué)知識(shí)知R=0.8m時(shí)x最大
將R=0.8m代入$-2mgR=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
解得${v_C}=\sqrt{32}$m/s
將R=0.8m代入$mg=m\frac{{v_{Cm}^2}}{R}$
解得${v_{Cm}}=\sqrt{8}$m/s
答：（1）要使賽車能通過(guò)C點(diǎn)完成比賽，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的最小速度v_m為$2\sqrt{5}$m/s
（2）要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)工作的最短時(shí)間為3s．
（3）若賽車過(guò)B點(diǎn)速度v_B=8.0m/s，R為0.8m時(shí)賽車能完成比賽，且落地點(diǎn)離B點(diǎn)的最大距離為3.2m

點(diǎn)評(píng) 分析清楚小車的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用牛頓第二定律、動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)即可正確解題