Question

19．如圖所示，一光滑圓錐體固定在水平面上，OC⊥AB，∠AOC=30°，一條不計(jì)質(zhì)量、長(zhǎng)為L(zhǎng)的繩（L＜OA）一端固定在頂點(diǎn)O，另一端拴一質(zhì)量為m的物體（看作質(zhì)點(diǎn)）．物體以速度v繞圓錐體的軸線OC在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
求：（1）當(dāng)v=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$時(shí)繩對(duì)物體的拉力．
（2）當(dāng)v=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$時(shí)，若繩子與OC的夾角為α，求出繩對(duì)物體的拉力的表達(dá)式．

Answer 1

分析 求出物體剛要離開錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：當(dāng)物體離開錐面時(shí)：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，R=Lsinθ
解得：v=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$，
（1）v₁＜v時(shí)，有：${T}_{1}sinθ-{N}_{1}cosθ=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得：${T}_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$，
（2）v₂＞v時(shí)，球離開錐面，設(shè)線與豎直方向上的夾角為α，
則T₂cosα-mg=0
${T}_{2}sinα=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$，
R₂=Lsinα
解得：T₂=2mg．
答：（1）當(dāng)v=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$時(shí)繩對(duì)物體的拉力為$\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$．
（2）當(dāng)v=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$時(shí)，若繩子與OC的夾角為α，繩對(duì)物體的拉力的表達(dá)式T₂=2mg．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運(yùn)用牛頓第二定律求解．