Question

11．“嫦娥一號”衛(wèi)星開始繞地球做橢圓軌道運動，經(jīng)過變軌、制動后，成為一顆繞月球做圓軌道運動的衛(wèi)星．設(shè)衛(wèi)星繞月球做圓周運動的軌道半徑為r，做勻速圓周運動的周期為T．已知月球半徑為R，引力常量為G．（球的體積公式V=$\frac{4}{3}$πR³，其中R為球的半徑）求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球表面的重力加速度g；
（3）月球的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求中心天體月球的質(zhì)量M；
（2）在月球表面重力與萬有引力相等求月球表面的重力加速度；
（3）根據(jù)密度公式求解．

解答 解：（1）對衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得：M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$
（2）假設(shè)月球表面附件有一物體m′，其所受萬有引力等于重力
$\frac{GMm′}{{R}^{2}}$=m′g
g=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{{T}^{2}R}^{2}}$
（3）球的體積公式V=$\frac{4}{3}$πR³，根據(jù)密度的定義，
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3{πr}^{3}}{{{GT}^{2}R}^{3}}$
答：（1）月球的質(zhì)量是$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（2）月球表面的重力加速度是$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{{T}^{2}R}^{2}}$；
（3）月球的密度是$\frac{3{πr}^{3}}{{{GT}^{2}R}^{3}}$．

點評 本題要掌握萬有引力提供向心力和星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，要求能夠根據(jù)題意選擇恰當?shù)南蛐牧Φ谋磉_式．