Question

4．如圖所示，粗糙水平面上有一壓縮并被鎖定的彈簧，彈簧左端固定于豎直墻壁上，右端與一質(zhì)量m=0.1kg的，可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊A接觸但不連接，光滑的固定半圓軌道MP與地面相切于M點(diǎn)，P點(diǎn)為軌道的最高點(diǎn)．現(xiàn)解除彈簧鎖定，彈簧將小物塊A推出，A沿粗糙水平面運(yùn)動(dòng)，之后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)并恰能通過P點(diǎn)．已知A與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.75，物塊A與M點(diǎn)的距離L=6m，圓軌道半徑R=1m，g取g=10m/s²，空氣阻力不計(jì)．
（1）求小物塊到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）求彈簧彈力對(duì)小物塊所做的功．
（3）彈簧仍將小物塊從A點(diǎn)推出，并調(diào)節(jié)M點(diǎn)到A點(diǎn)的距離．使小物塊恰好能夠從P點(diǎn)落回A點(diǎn)，則A點(diǎn)與M點(diǎn)的距離應(yīng)該調(diào)為多大？

Answer 1

分析 （1）小物塊沿圓周軌道運(yùn)動(dòng)并恰能通過P點(diǎn)，說明在P點(diǎn)小物塊受到的重力恰好提供向心力，由牛頓第二定律求解；
（2）整個(gè)的過程中重力、摩擦力和彈簧做功，小物塊的動(dòng)能增大．根據(jù)動(dòng)能定理即可求得彈簧做功；
（3）小物塊離開P點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，將它的運(yùn)動(dòng)安豎直方向和水平方向分解，使用運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求得．

解答 解：（1）設(shè)小物塊A到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)P時(shí)的速度為v_P，則由題意有：
  $mg=m\frac{v^2}{{{R^{\;}}}}$   
解得：${v_p}=\sqrt{10}$m/s
（2）從解除鎖定到小物塊滑至最高點(diǎn)P的過程中，由動(dòng)能定理得：
  W_彈-$μmgL-2mgR=\frac{1}{2}mv_p^2$   
解得：W_彈=7J 
（3）小球離開P點(diǎn)后以速度v_P′做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)落地的時(shí)間為t，則
豎直位移：$h=2R=\frac{1}{2}g{t^2}$
水平位移：L′=v_P′t
從解除鎖定到小物塊滑至最高點(diǎn)P的過程中，由動(dòng)能定理得：
  W_彈-μmgL′-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{′2}$
解得：L′=4m
答：
（1）小物塊到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{10}$m/s．
（2）彈簧彈力對(duì)小物塊所做的功是7J．
（3）A點(diǎn)與M點(diǎn)的距離應(yīng)該調(diào)為4m．

點(diǎn)評(píng) 該題將動(dòng)能定理與豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來，運(yùn)動(dòng)情景的設(shè)置比較經(jīng)典，使用的都是常規(guī)的一些公式．該類題目要注意對(duì)運(yùn)動(dòng)過程的分析．