Question

（25分）兩輛汽車(chē)A與B，在t = 0時(shí)從十字路口O處分別以速度v_A和v_B沿水平的、相互正交的公路勻速前進(jìn)，如圖所示．汽車(chē)A持續(xù)地以固定的頻率v₀鳴笛，求在任意時(shí)刻t汽車(chē)B的司機(jī)所檢測(cè)到的笛聲頻率．已知聲速為u，且當(dāng)然有u > v_A、v_B．                                

Answer 1

如圖所示，

t時(shí)刻汽車(chē)B位于處，距O點(diǎn)的距離為v_Bt．此時(shí)傳播到汽車(chē)B的笛聲不是t時(shí)刻而是較早時(shí)刻t₁由A車(chē)發(fā)出的．汽車(chē)A發(fā)出此笛聲時(shí)位于處，距O點(diǎn)的距離為．此笛聲由發(fā)出點(diǎn)到接收點(diǎn)（t時(shí)刻B車(chē)所在點(diǎn)）所傳播的路程為u(t–t₁)，由幾何關(guān)系可知

     (1)

即

這是以t₁為變量的一元二次方程，其解為 

由于，但t₁< t，所以上式中只能取減號(hào)

                               (2)

                           (3)

令        

                              (4)

有

，                              (5)

在時(shí)刻，位于處的汽車(chē)A發(fā)出的笛聲沿直線（即波線）在t時(shí)刻傳到處，以、分別表示車(chē)速與笛聲傳播方向的夾角，有

                               (6)

                             (7)

令ν 表示B車(chē)司機(jī)接收到的笛聲的頻率，由多普勒效應(yīng)可知

                               (8)

    由（6）、（7）、（8）式，得

            (9)