Question

如圖所示，凸透鏡P的主光軸與水平的x軸重合，其焦距是f，兩個焦點(diǎn)分別是，透鏡左側(cè)x軸上垂直放置一個物體A，A到透鏡的距離大于f而小于2f．若將此透鏡沿x軸向右平移到無窮遠(yuǎn)處，則在此過程中，物體經(jīng)凸透鏡所成的像將向哪個方向運(yùn)動？

Answer 1

答案：
解析：

[方法一]如圖所示，利用作圖法作出凸透鏡移動過程中的幾個位置上物體A所成的像．由圖中可以看出，像的運(yùn)動情況是：先向左移動，再向右移動． 　　[方法二]設(shè)物體離透鏡距離為u、像離透鏡的距離為v、物與像之間的距離為L，則有：u＋v＝L ① 由透鏡成像公式可知 ② 聯(lián)立①、②兩式可得： ③ 由于物距u必有實(shí)數(shù)解，所以要求式中根的判別式Δ≥0，即：L≥4f，且只有當(dāng)u＝v＝2f時取等號．因?yàn)槌跏紩ru小于2f，所以物像間距離大于4f，因此當(dāng)透鏡向右移動過程中，物像之間的距離是先變小，后變大，故像的運(yùn)動情況是：先向左移，再向右移． 　　凸透鏡移動過程中，到物體的距離始終大于一倍焦距，因此本題屬于物體經(jīng)凸透鏡成實(shí)像的變化過程．由透鏡成像規(guī)律可知，當(dāng)物距發(fā)生變化時，像距也隨之發(fā)生變化，討論像的運(yùn)動規(guī)律，即是討論像相對于地面如何運(yùn)動．由于物體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，故本題即是討論像相對于物體將如何運(yùn)動，若能判斷出當(dāng)透鏡向右移動過程中像與物體的距離變化，則此問題即可求解． 　　[思路一]利用凸透鏡成像的作圖法求解．若能準(zhǔn)確地作出凸透鏡移動過程中，物體通過凸透鏡所成的像的確切位置，則由物、像之間的相對位置關(guān)系便可得到像的運(yùn)動規(guī)律． 　　[思路二]利用凸透鏡成實(shí)像的數(shù)學(xué)規(guī)律求解．若能從透鏡成像的光路圖中得到物、像之間距離L與物距u之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，則可通過對函數(shù)極值的討論得到像的運(yùn)動規(guī)律．

提示：

利用作圖法討論透鏡成像的特點(diǎn)是求解此類問題的一般方法，熟練的作圖不僅能夠很快地求解出正確的答案，而且對透鏡成像的規(guī)律有更直觀的認(rèn)識．如：當(dāng)透鏡移動過程中像與透鏡的距離變化、當(dāng)透鏡處于靜止?fàn)顟B(tài)而移動物體時，物的移動速度與像的移動速度的比較等，都可以通過作圖法進(jìn)行求解． 　　準(zhǔn)確地作出透鏡成像的光路圖是掌握透鏡成像規(guī)律的基本方法，由于近幾年高考對透鏡成像公式的要求逐漸降低，因此對學(xué)生的作圖能力提出了更高的要求，本題所采用的作圖法就是一個典型的例子．值得指出的是：透鏡移動過程中，透鏡的焦點(diǎn)亦隨透鏡一起移動，讀者在作圖過程中應(yīng)特別注意這一點(diǎn)；利用作圖法討論雖然直觀，但只能定性地得出透鏡成像的一般規(guī)律，為準(zhǔn)確描述透鏡成像規(guī)律，則必須運(yùn)用數(shù)學(xué)工具加以分析，如本題的第二種解法．從第二種解法中不難看出，當(dāng)③式中根的判別式大于0時，物、像之間的距離大于4L，此時物距u有兩個實(shí)數(shù)根，對應(yīng)著兩個像距，即：若保持物、光屏之間的距離不變且大于4L時，在物與光屏間移動透鏡，物體可以在光屏上得到兩次實(shí)像，這也是利用共軛法測量凸透鏡焦距的基本原理！可見，只有把作圖法與數(shù)學(xué)工具緊密地結(jié)合在一起，才能對透鏡成像的規(guī)律有更深刻的理解．