Question

如圖所示，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上，B不能左右運(yùn)動(dòng)，在環(huán)的最低點(diǎn)靜放有一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m．給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v₀，使小球在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，為保證小球能通過(guò)環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，初速度v₀必須滿(mǎn)足（　　）

• A．最小值為

  4gr

• B．最大值為

  6gr

• C．最小值為

  5gr

• D．最大值為

  7gr

Answer 1

分析：小球在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)速度最小時(shí)，軌道對(duì)球的最小彈力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點(diǎn)的最小速度；為了不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道的彈力不能大于2mg，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的最大速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球在最低點(diǎn)的速度范圍．

解答：解：在最高點(diǎn)，速度最小時(shí)有：mg=m

v 2 1

r

，解得：v₁=

gr

．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：2mgr+

1

2

mv₁²=

1

2

mv₁′²，解得：v₁′=

5gr

．
在最高點(diǎn)，速度最大時(shí)有：mg+2mg=m

v 2 2

r

，解得：v₂=

3gr

．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：2mgr+

1

2

mv₂²=

1

2

mv₂′²，解得：v₂′=

7gr

．
所以保證小球能通過(guò)環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，在最低點(diǎn)的速度范圍為：

5gr

≤v≤

7gr

．故D正確，A、B、C錯(cuò)誤．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，關(guān)鍵理清在最高點(diǎn)的兩個(gè)臨界情況，求出在最高點(diǎn)的最大速度和最小速度．